3

Теорема о роторе потенциального вектора

2. Предварительное исследование

В качестве предварительного анализа рассмотрим приведенную на рис. 2 (вверху) упрощённую модель одномерного потока вектора (, t).

Рис. 2. Расчёт циркуляции вектора (x, t) одномерного динамического векторного потока

Пусть в некоторой односвязной области без вихрей и токов в направлении оси x распространяется одномерный, однородный динамический поток, вектор которого (, t) перпендикулярен направлению потока   и оси z. При этом мы пока не будем определять поток как потенциальный или вихревой. В данный момент важно только то, что силовой вектор потока перпендикулярен направлению распространения волны. Вопрос о соленоидальности вектора потока мы рассмотрим, когда для этого появится необходимая база.

Будем также предполагать, что скорость распространения возмущения конечна и функция F(x, t) имеет вид

Используя методику исследования дивергенции вектора в динамических полях [10], выделим в исследуемой области три контура ABD₁E₁ , ABD₂E₂ , ABD₃E₃, имеющих общую сторону AB, как показано на рис. 2. Для наглядности выберем расстояния между сторонами D₁E₁ , D₂E₂ , D₃E₃ и стороной AB равными соответственно 2/3k ; /k ;  4/3k.

При вышеописанных условиях воспользуемся стандартным определением ротора вектора, которое, в силу своей общности, должно быть справедливым как для стационарных, так и для динамических полей. Это определение имеет вид (см., например, [1, с. 83], [11, с. 116])

где   вектор потока; P - некоторая точка площадки ; - нормаль к площадке ; L - замкнутый контур, ограничивающий площадку ; d- некоторый бесконечно малый элемент длины контура L .

В приложении к рассматриваемой задаче выражение (9) можно записать следующим образом

где S_i  - площадь сечения i-го выделенного контура, i = 1, 2, 3 соответственно для ABD₁E₁ , ABD₂E₂ , ABD₃E₃.

Поскольку выделенные нами контуры конечны, то вначале проведём исследование приведенной циркуляции R_i:

is the circulation of vector   about the path  .циркуляция вектора (, t) по контуру L_i.