5

Теорема о роторе потенциального вектора 

3. Полное доказательство теоремы о роторе потенциального вектора в динамических полях

Рассмотрим некоторый динамический поток вектора (, t), проходящий через связный выделенный объём V, свободный от вихрей и токов. При этом будем предполагать, что направление вектора (, t) перпендикулярно направлению потока . Ограничим сбоку выделенный объём V силовыми трубками тока, а с торцов – эквифазными поверхностями, как показано на рис. 4.

Рис. 4. Общий вид циркуляции вектора (, t) динамического потока в выделенном сечении S

Тогда длина всех трубок тока, проходящих через объём V, будет одинакова и для них будет справедливо соотношение между длиной силовой трубки  l и временем запаздывания волнового процесса t:

Введём систему координат (n_r ; n_n; n_b), в которой _r направлен по направлению потока , вектор _n направлен по (, t), а _b является бинормалью к вектору  _r. Выделим в объёме V площадку ABDE, стороны AB и DE которой принадлежат торцам объёма V, а стороны AE и BD совпадают с боковой поверхностью выделенного объёма и параллельны _r.

Во введенной системе координат вектор (, t) может быть представлен в виде

Как видно из (20), вследствие появления фазы запаздывания, циркуляция вектора разбилась на две части: стандартную пространственную циркуляцию вектора и интеграл, зависящий от степени запаздывания волнового процесса в пространстве. Первая часть, в отсутствие вихрей и токов, естественным образом обращается в ноль. Второй интеграл по замкнутому контуру L легко преобразуется в интеграл по площадке S, ограниченной данным контуром.

Чтобы осуществить указанное преобразование, разобьём площадку S на p площадок вдоль направления распространения потока. Тогда (, t) может быть представлена в виде