4

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Чтобы облегчить анализ выражения (11) и сделать его более наглядным, как и в [10], построим диаграмму изменения амплитуды вектора (x, t)  в пространстве и времени, начиная с некоторого произвольно выбранного начального времени t₀. Общий вид данной диаграммы приведен на рис. 2 (в центре). Как и полагается для запаздывающих процессов, фаза колебаний вектора (x, t)   смещается с увеличением x. В область выделенных контуров попадают различные участки волны, что хорошо видно благодаря пунктирам, опущенным из сторон контуров на диаграмму. Вследствие этого на противоположных сторонах контуров фиксируются различные значения мгновенной амплитуды вектора (x, t) , что свидетельствует о нетождественности нулю циркуляции вектора (x, t) . Данную циркуляцию вектора несложно посчитать, учитывая плоский фронт волны и одномерный характер потока. Вследствие этого, процесс интегрирования в выражении (11) сводится к сумме скалярных произведений мгновенных значений амплитуды вектора (x, t)  на длину l соответствующих сторон выбранного контура.

Полученные результаты для каждого из выбранных контуров в моменты времени, указанные на рис. 2 (слева), приведены на рис. 2 (справа).

Расчёты показывают, что, действительно, циркуляция _i   не обращается тождественно в ноль. Её величина изменяется во времени и не совпадает для всех трёх выделенных контуров. Это наглядно видно на графике _i(t), представленном на рис. 3. Видно, что от размера контуров зависят и амплитуда, и фаза колебаний циркуляции вектора во времени.

Рис. 3. Временная зависимость циркуляции вектора в выделенном сечении, в зависимости от размера этого сечения

Математически это запишется следующим образом:

где x_i = x_i - x₀   ; i = 1, 2, 3.

В связи с тем, что появление зависимости _i ( x_i), как было сказано выше, обусловлено конечностью скорости распространения волны в пространстве, мы имеем право выразить x_i через временную характеристику запаздывания волнового процесса

где t_i - время запаздывания процесса при прохождении волны между противоположными сторонами выделенного   i-го контура.

Подставляя (13) в (12), получим

Учитывая, что величина площади выделенного контура также зависит от x_i:

Соответственно, ротор вектора   (x, t) также не обратится в ноль:

Из (17) видим, что значение ротора вектора (x, t) в случае динамического поля зависит от частоты изменения этого поля и от скорости распространения волнового процесса, а фаза изменения ротора вектора опережает фазу колебаний самого вектора на величину /2. При переходе к стационарным полям, т.е. при 0 и/или c , правая часть выражения (17) автоматически обращается в ноль, тем самым входя в соответствие с существующим представлением (2).

При внешней простоте вывода и очевидности результата, обращает на себя внимание тот факт, что при переходе к стационарному полю ротор вектора обращается в ноль. Данная особенность резко отличает ротор динамического вектора от ротора стационарного вектора. Это несложно обобщить на случай произвольного потока вектора.