СЕЛФ

32

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

3. Исследование сохранения закона сложения векторов при преобразованиях Лоренца

В данном пункте исследования мы проверим справедливость закона сложения векторов в инерциальных системах отсчёта, который, как известно, является базовым как при исследовании траектории движении тел, так и для нахождения первых и последующих производных. Ведь в общем случае при дифференцировании мы всегда ищем разницу между векторами, и значит, сохранение закона сложения векторов фактически определяет правомерность операции дифференцирования и интегрирования в пространстве, в котором мы осуществляем данную операцию. Также известно и давно доказано, что в классическом формализме в рамках инерциальных систем отсчёта исследуемый нами закон соблюдается безоговорочно. “Уравнения механики имеют тождественный вид в любых инерциальных системах отсчёта” [10, с. 73]. При этом “неизменность (инвариантность) законов механики при галилеевых преобразованиях составляет содержание принципа относительности ньютоновской механики” [там же]. Это легко показать ещё раз. Пусть у нас имеются две взаимно движущиеся вдоль совмещённых осей x со скоростью v  галилеевы системы отсчёта K   и K' , и пусть относительно системы K   инерциально движется некоторая материальная точка со скоростью  (u_x, u_y) . Тогда мы можем проверить справедливость закона сложения векторов, определив результирующий вектор в системе K'   двумя путями:

1. преобразуя сам вектор в указанную систему координат и находя его модуль и угол наклона к осям координат,

2. преобразуя проекции вектора и также определяя модуль и угол наклона результирующего вектора в штрихованных осях координат.

Если результаты вычислений, произведенных по данным путям, приведут к одному результату, то закон в данном математическом формализме справедлив. Если результаты будут различны, то и закон в данном формализме нарушается. Подобная проверка универсальна в том смысле, что не требует равенства модулей или сохранения углов наклона векторов при преобразовании, но только определяет сохранение замкнутости формализма, обязанного обеспечить независимость результата вычисления от пути, по которому данные вычисления были произведены. И этот принцип замкнутости формализма безусловно должен сохранять справедливость в инерциальных системах отсчёта, где кривизна пространства отсутствует.

В рамках классического формализма это проверяется элементарно просто. При прямом преобразовании вектора скорости

откуда следует

С другой стороны, преобразуя x-проекцию скорости, имеем

и соответственно для y-проекции имеем

В результате (41) и (42) полностью совпадают с (40), что и подтверждает справедливость закона сложения векторов в галилеевых системах отсчёта.

В релятивистской механике при всей внешней простоте проверки это не столь очевидно.

Чтобы убедиться в этом, определим сначала модуль вектора скорости точки в системе отсчёта K'  при прямом преобразовании вектора. Поскольку в данном случае точка совершает своё движение в плоскости, то согласно закону релятивистского сложения скоростей имеем

Таким образом,

Теперь попробуем получить выражение (44), преобразуя проекции вектора    в систему отсчёта K'  и определяя модуль результирующего вектора. Для x-проекции скорости имеем

Соответственно для y-проекции скорости имеем

Поскольку y-проекция при преобразовании приобретает проекцию по x' ,

Сравнивая (44) и (47), мы видим, что результаты не одинаковы. А это означает, что в релятивистском формализме закон сложения векторов при преобразовании из одной инерциальной системы отсчёта в другую не выполняется. При этом мы не имеем права утверждать, что справедлив только путь прямого преобразования вектора, но не справедлив путь преобразования проекций вектора, основываясь на стандартном заявлении релятивистов, типа: “Но не можем же мы пользоваться одной кинематикой для одной группы физических явлений, а другой - для другой группы, требуя инвариантности относительно преобразования Галилея для механики и инвариантности относительно преобразования Лоренца для электродинамики.

Мы знаем, однако, что первое преобразование представляет собой предельный случай второго, именно случай, в котором постоянная  c  бесконечно велика. Соответственно, следуя Эйнштейну, мы будем предполагать, что классическая механика не строго справедлива, но, вернее, требует некоторой модификации. Законы новой механики должны оказаться инвариантными относительно преобразований Лоренца” [11, с. 261].

Чтобы оценить степень справедливости утверждения М. Борна, достаточно обратить внимание на тот факт, что в самом его утверждении заложено и условие для проверки сочетаемости галилеевых и лоренцевых преобразований. Соглашаясь, что инвариантность преобразований Лоренца не должна в общем случае быть идентичной галилеевой инвариантности, вместе с тем, устремляя значение скорости света к бесконечности, мы должны получить совпадение (44) и (47). Однако вместо этого получаем в первом случае

а во втором

Таким образом, и при предельном переходе к галилеевой системе отсчёта равенство результатов преобразования не достигается, что свидетельствует о несоблюдении закона сложения векторов в формализме, содержащем преобразования Лоренца. С учётом выявленной особенности, мы уже не имеем права устанавливать какие-либо связи между проекциями векторов, не имеем права дифференцировать, как не имеем права рассматривать закон сохранения импульса системы тел, поскольку сам импульс является векторной величиной и при доказательстве нам необходимо суммировать импульсы входящих в систему тел. Также в рамках релятивистского формализма теряет всякий смысл исследование динамического поведения тел, поскольку результат моделирования будет зависеть не от закономерностей природного явления, а от пути, который мы выбрали для вычислений.