29

Все существующие методы основаны на сшивании решений для различных частей системы на основе условий непрерывности. Причем методики крайне чувствительны к попыткам варьировать какие-либо параметры системы в ходе решения, это приводит к необходимости проводить все вычисления заново. Кроме того, общеизвестно, что высокая точность многих из этих методик иллюзорна [6, с. 317].

Именно ограниченность подходов матричными, интегральными и асимптотическими методами в совокупности с укрепившейся практикой дополнительного задания начальных и граничных условий для обобщенной системы дифференциальных уравнений приводит к появлению непреодолимой проблемы, когда "наличие нерегулярных границ в большинстве практических задач не позволяет построить аналитические решения дифференциальных уравнений, и численные методы стали единственно возможным средством получения достаточно точных и подробных результатов" [7, с. 12]. В то время как численные методы, при всей своей простоте и широте применения, совершенно непригодны для проведения с ними каких-либо логических или математических операций. Другим их недостатком является большая чувствительность к выбору шага [8, с. 9], т.к. две ближайших точки системы могут вести себя совершенно различно, и всегда велик риск пропустить важную особенность поведения.

Но главным недостатком численных методов является отсутствие надежного аналитического формализма, который, будучи заложен в основу расчетов, фактически предопределяет качество получаемых численных решений. "Поиск решений, как правило, для различных случаев велся с использованием различных методов (Чезаре, Крылова-Боголюбова, через переменные действие-угол и т.д.) с разложением sin xи cos x в ряд по степени малости x. Такое разнообразие методов затрудняло оценку частных решений, интерпретацию полученных результатов и понимание причин возникновения хаоса, бифуркаций в системах" [3, с. 36].

Аналитическая запись решений позволяет избежать всех этих недостатков. Она значительно более проста и точна, дает хорошее представление о течении процесса и на локальных участках, и в целом, легко поддается программированию и позволяет значительно уменьшать трудоемкость расчетов и экономить оперативную память машины [8, с. 9]. Как будет показано в данной работе, именно отсутствие точных аналитических решений для линейных задач являлось до сих пор главной причиной того, что существующие решения для нелинейных задач ограничены значениями собственных частот моделируемой системы. Это не позволяло исследовать закономерности процесса в той форме, которая достижима аналитическими методами с решениями в аналитическом виде.

Необходимость преодолеть перечисленные проблемы привела нас к созданию нового оригинального метода получения точных аналитических решений, который уже сейчас способен решать широкий круг задач для одномерных упругих линий (таких, как механические валы), для изогнутых систем (таких как стык горной гряды или изгиб горных гряд, являющихся концентраторами разрушительной сейсмической мощи), для циклически замкнутых систем (позволяющих, например, моделировать динамические процессы в колесе), для сложных упругих систем, содержащих резонансные подсистемы и т.д. Мы также успешно применили разработанную нами методику для несогласованных электрических фильтров и проверили её экспериментально для электрической цепи из шести несогласованных фильтров (что тоже находится за пределами существующих расчетных возможностей, а следовательно, этим обеспечивалась чистота проверки). Эксперимент дал нам диаграммы, совпадающие с расчетными до мелочей, которые обычно считаются шумами эксперимента, а оказались закономерными мелкими пиками.

До сих пор наш метод имел крупный недостаток - он был разработан только для линейных систем, в то время как именно нелинейные системы представляют собой наибольшую трудность в расчетах. Данная работа имеет целью восполнить этот пробел. Мы воспользуемся преимуществами точных аналитических решений, исследованных нами ранее в вышеуказанных статьях [9]- [16] и распространим эти решения в область нелинейной динамики, пренебрегая условием малости нелинейности связей. При этом мы не будем опираться на сами линейные решения и пытаться получить решение для нелинейной системы дифференциальных уравнений путём вариации линейного решения, но попробуем перенести в нелинейную механику базовый принцип, основанный на четкой конкретизации особенностей модели. Наше намерение обусловлено тем, что, как показано в названных работах, если полностью учесть особенности конкретной модели в моделирующей системе дифференциальных уравнений, то наличие дополнительных начальных и граничных условий становится избыточным. Граничные условия отражаются в особенностях самой системы дифференциальных уравнений, а начальные условия определяются характером внешнего воздействия для вынужденных колебаний или особенностями колебаний выделенного элемента при свободных колебаниях. При этом отпадает необходимость сшивания решений, что позволяет достичь максимальной детерминированности решений для конкретной модели упругой системы. В свою очередь, это позволяет осуществить переход к нелинейной динамике процессов, сохранив непрерывную аналитическую связь с линейными решениями.