non-linearity

т.2 No 2	35
Исследование нелинейности упругой связи

Для нахождения решений системы уравнений (20) для третьей гармоники, учитывая линейность данной системы уравнений, достаточно представить общее решение в виде линейной суперпозиции трёх вспомогательных решений для подсистем уравнений, в каждой из которых мы оставим одну из эквивалентных сил Q_i3. При этом, общее решение примет вид
	(30)
В свою очередь, решения для каждой из подсистем для исследуемой нами упругой линии можно определить на основе результатов, представленных в [14]. При этом для первой подсистемы, содержащей силу Q_i3, получим:
	(31)
Для второй подсистемы, содержащей силу Q₂₃, решение будет иметь несколько иной вид, поскольку в этом случае сила воздействует на внутренний элемент упругой линии. Если бы в рассматриваемой нами линии было более трёх элементов, то согласно [14] решение имело бы вид системы для правой и левой частей упругой линии соответственно. Но поскольку в нашей модели только один внутренний элемент, решение несколько упростится и его можно записать в виде
	(32)
Наконец, для третьей подсистемы решение будет иметь вид:
	(33)
Полученные компоненты (31), (32), (33) общего решения (30) показывают, что амплитудно-частотная характеристика колебательного процесса для третьей гармоники не будет соответствовать амплитудно-частотной характеристике первой гармоники, как будут различны и значения резонансных частот. Это обусловлено не только различием зависимостей. В конце концов, множитель sin 6₃ , определяющий положение резонансов, имеет тот же вид, что и в решении (15) для первой гармоники. Но для третьей гармоники параметр ₃, определяющий ₃ = arcsin ₃, равен
	(34)
что в три раза больше соответствующего параметра (16) первой гармоники. Следовательно, граничная частота для третьей гармоники будет в три раза ниже ₀₁ и определится выражением
	(35)