non-linearity

т.2 No 2	31
Исследование нелинейности упругой связи

3. Методика поиска решения Чтобы определиться с направлением поиска решения системы (3), обратим внимание, что в случае s₃ = 0 указанная система автоматически сводится к линейной, имеющей известные решения [10]:
	(6)
где i = 1, 2, 3 ,
	(7)
Это дает нам возможность искать точные аналитические решения для каждой отдельной гармоники простым путем, особенности которого для каждого шага, соответствующего поиску соответствующей гармоники, будут объяснены в ходе поиска решения. Чтобы определить направленность пошагового нахождения гармоник, обратим внимание на следующую особенность. Если мы подставим, например, периодическое решение (при < 1) из (6) в общую систему (3) при s₃ 0, то в правой части каждого равенства появится дополнительное слагаемое, соответствующее третьей гармонике, которое нарушает соответствие (6) системе (3). Если мы попытаемся учесть в решении появившуюся дополнительную гармонику, то при подстановке уточнённого решения в систему (3) у нас появятся члены следующих, более высоких гармоник, и т.д. Это подтверждает известный факт, что "благодаря наличию нелинейных членов, в решение уравнения вынужденных колебаний войдут гармоники с частотами, равными n₀" [4, с. 314]. Указанная особенность даёт нам основание искать общее решение в виде ряда, начинающегося с основной гармоники, соответствующей частоте воздействия внешней силы:
	(8)
где _ip - неизвестное пока мгновенное смешение i- го элемента упругой линии (в данной задаче i = 1, 2, 3), соответствующее p- й гармонике нелинейного динамического процесса. Как видим, отсутствие условия малой нелинейности упругих связей привело к существенному изменению формы искомого решения задачи. В частности, параметр _ip в выражении (8) не имеет ни прямой, ни обратной степенной зависимости, которая характерна для асимптотических методов (см. например [19, с. 45]), как отсутствует и параметр , указывающий, например, на малость функции Q (по сравнению с линейным членом), используемой в методе Крылова-Боголюбова [4, с. 314] при решении задач типа
	(9)
По своей внешней форме ряд (8) больше напоминает разложение комплексной функции в ряд Фурье, которое, как правило, не применяется при решении задач нелинейной механики существующими методами. Но при этом суммирование в (8) осуществляется только по положительным значениям p и даже отсутствует нулевой член ряда. И если бы мы действительно искали решение в форме разложения в ряд Фурье, то мы не имели бы права сужать область суммирования без ограничения общности решения. Но, как будет показано ниже, коэффициенты _ip являются аналитическими функциями резонансного вида, зависящими от параметров исследуемой упругой линии и частоты воздействия внешней силы . Причём каждый из коэффициентов ряда (8) будет являться решением своей системы алгебраических уравнений и, следовательно, будет обладать своей собственной функциональной зависимостью. В то же время известно (см., например, [20, с. 214], [21, с. 143]), что при разложении в ряд Фурье
	(10)
коэффициенты a_k и b_k являются действительными числами, а коэффициенты c_k являются комплексными числами, которые определяются из равенства
	(11)