32

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Иными словами, форма решения (8) отличается от формы разложения в ряд Фурье тем, что она представляет собой функциональный ряд, образующийся в результате последовательной компенсации высших гармоник, возникающих в системе уравнений при появлении нелинейности. И исходя из того, что разложение коэффициента жёсткости (1) содержит только возрастающие степени , решение в виде ряда, начинающееся с основной гармоники воздействующей силы (т.е. с p 1), будет полностью описывать весь спектр гармоник, возникающих в нелинейной упругой линии в результате воздействия строго гармонической силы.

Конечно, если бы разложение (1) имело иной вид, например,

то, следуя выбранному нами пути, мы обязаны были бы искать решение в некоторой другой форме, которая позволила бы найти решение для упругой системы с нелинейностью связей типа (12). Но, поскольку указанное разложение (12) значительно выходит за рамки проводимого нами исследования, мы пока ограничиваемся классом нелинейностей, описываемых разложением (1), этим дополнительно подчёркивая многообразие форм нелинейности задач динамики и обусловленного этим многообразия подходов к их решению. Исследование решений нелинейных задач на основе разложения, с использованием приближения рядами Вольтерра, близкого к (12), можно найти в книге Вильсона Раха [22]. Правда в этом случае всё таки сохраняется условие малости нелинейности модели, которым в представляемом нами подходе к решению мы можем пренебречь.

Как следствие вышесказанного, сходимость ряда (8) будет определять не допустимость разложения _i по гармоникам  pt, как это имело бы место в случае разложения _i в ряд Фурье, а будет фиксировать существование конечного решения в той или иной области частотного диапазона. Тем самым сходимость ряда (8) фактически будет определять устойчивость колебаний в исследуемой частотной области.

Исходя из вышеописанного анализа, методика нахождения решения нелинейной системы уравнений (3)- (4) может быть определена в виде последовательной компенсации остаточных членов высших гармоник при подстановке в указанную систему уравнений разложения (8). Для этого мы подставим (8) в систему (3) и последовательно выделим члены соответствующих гармоник, основываясь на том, что тождественное равенство нулю системы (3) может обеспечиваться только при условии равенства нулю соответствующих уравнений для всех гармоник.

Как мы видим, вследствие сделанной нами подстановки, моделирующая система (3) приобрела знакомый вид совокупности равенств гармонических составляющих. Поэтому, как было сказано выше, данная система тождественно обращается в ноль только при равенстве соответствующих коэффициентов для всех гармоник.

Чтобы выделить соответствующие гармоники, мы могли бы воспользоваться ортогональностью системы функций , p = 1, 2, 3, ...  (см., например, [20, с. 213]) и независимостью _ip от времени, применив к (13) операцию, аналогичную свёртке, которая используется при выделении гармоник ряда Фурье. Но вследствие того, что _ip являются некоторыми аналитическими функциями, которые при резонансных частотах могут обращаться в бесконечность, обоснованность применимости операции свёртки в данном случае будет неполной. Однако в системах уравнений типа (13), для выделения гармонических составляющих нет прямой необходимости в применении операции свёртки. Вполне достаточно приравнять нулю коэффициенты при соответствующих гармониках в каждом из равенств указанной системы алгебраических уравнений. При данном подходе, резонансный характер коэффициентов _ip не будет иметь существенного значения, если при этом будет соблюдаться тождественное равенство нулю совокупности коэффициентов соответствующих гармоник в каждом из равенств системы (13).