non-linearity

СЕЛФ	34
С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Для удобства последующего анализа, выражение (21) можно несколько преобразовать, используя ранее найденные нами значения мгновенных смещений (15). При ₁ < 1 получим
	(22)
При ₁ > 1 получим
	(23)
При ₁ = 1 получим
	(24)
Из (22)- (24) видно, что характер воздействия эквивалентных сил Q_i3 (вне зоны резонансов) зависит не только от амплитуды первой гармоники мгновенных смещений, но и от характера колебательного режима, в котором находится первая гармоника. Если первая гармоника находится в периодическом режиме колебаний, то в третьей гармонике будут отражаться все резонансы, возникающие в первой гармонике. Если же первая гармоника находится в апериодическом режиме колебаний, то амплитуда эквивалентных сил третьей гармоники будет быстро убывать с частотой (в данной задаче приблизительно пропорционально ^{^{^-18}}). На основании полученных выражений (22)- (24) можно определить условия сходимости ряда (8) вне области резонансов. Для третьей гармоники, в отсутствии второй, это определяется критерием малости амплитуды эквивалентных сил этой гармоники по отношению к амплитуде воздействующей силы. Чтобы показать это, достаточно представить s₁ и s₃ через жёсткость упругой линии T₁ и T₃ соответственно:
	(25)
где a - расстояние между невозмущёнными элементами упругой линии. Тогда при условии
T₃ < T₁	(26)
с учетом условия неразрушающих колебаний в упругой линии
T₁ > F₀	(27)
получим на основании (22)
	(28)
Таким образом, мы видим, что вне резонансной частоты при выполнении неравенства (26) третья гармоника соответствует убывающему по амплитуде ряду. Если же неравенство (26) не выполняется, то даже при сохранении неравенства s₃ < s₁ сходимость ряда (8) будет зависеть от амплитуды воздействующей силы. При выполнении условия
	(29)
вытекающего из (25) и (26), амплитуда третьей гармоники будет соответствовать сходящемуся ряду. В обратном случае вне области резонансов мы будем наблюдать рост амплитуды членов ряда (8), что соответствует переходу к неустойчивому процессу. Конечно, полученный критерий очень приближённый и более демонстрирует факт наличия критерия устойчивости колебательного процесса, и при обобщении с учетом последующих членов ряда (8) он может быть уточнен. Тем не менее, даже из этой первичной оценки видно, что в нелинейных системах амплитуда воздействующей силы существенно влияет на устойчивость динамического процесса.