30

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

2. Постановка задачи

Чтобы получить возможность сконцентрироваться непосредственно на самой методике поиска решений нелинейной задачи, выберем в качестве исследуемой модели достаточно простую однородную одномерную конечную линию с незакрепленными концами (см. рис. 1), состоящую всего из трех элементов, соединенных нелинейными упругими связями, обладающими коэффициентом жёсткости s (), где - степень трансформации связи. Причем, учитывая безынерционность самой связи, мы будем предполагать, что для каждой связи определяет суммарное смещение обоих объединенных ею тел. Как мы увидим ниже, этот внешне вполне естественный нюанс несколько изменит стандартный вид моделирующих дифференциальных уравнений, чем облегчит поиск решения поставленной нами задачи.

Рис. 1. Механическая модель системы трех тел массой m, соединенных нелинейными упругими связями, коэффициенты жесткости которых зависят от суммарного сдвига первого и второго тел ₁₂ и второго и третьего тел ₂₃ соответственно

Определяя характер зависимости коэффициента жёсткости от степени деформации связи, мы не будем отходить от стандартного представления, согласно которому нелинейную характеристику упругой связи можно представить в виде степенного ряда по [17, с. 327]:

Кубический (а не квадратичный) член обеспечивает одинаковое значение возвращающей силы при положительных и отрицательных смещениях" [17, с. 327]. И хотя, как будет показано далее, ограниченность распределения (2) не влияет на сам подход к решению задачи (но только на результат, обусловленный правильным учётом коэффициентов разложения в выражении (2) в каждой конкретной задаче), тем не менее, мы пока будем придерживаться существующей практики и ограничимся наличием кубического члена в разложении. Вместе с тем, мы не будем вводить дополнительное требование малости  s₃ по сравнению с s₁, поскольку, как выяснится в ходе исследования, подобное условие, характерное всем асимптотическим методам, при реализуемом нами подходе является избыточным.

Учитывая вышеприведенные предварительные рассуждения и результаты работы [10], мы можем представить моделирующую систему дифференциальных уравнений в виде:

Закон изменения внешней силы мы также пока не будем усложнять и зададим его в простом гармоническом виде:

предполагая, что в последующих исследованиях этот закон может быть существенно усложнён без нарушения правомерности подхода к решению задачи.

Наконец, без ограничения общности, предположим, что в рассматриваемой упругой системе отсутствуют свободные колебания, тем более, что при установившемся движении практическое значение имеют лишь незатухающие вынужденные колебания [18, с. 58].

С учётом (4) и всех доопределений модели, система (3) приобретает полностью детерминированный вид и в каких-либо дополнительных начальных и граничных условиях не нуждается. Как показано в работах [9]- [16] на самых различных моделях упругих линий, полностью детерминированные системы дифференциальных уравнений не нуждаются в доопределениях, как отсутствуют в их решениях и константы, которые необходимо определять на основе начальных или граничных условий. При отсутствии свободных колебаний и при установившемся характере внешней силы (4), какой бы характер реакции на это воздействие со стороны линии мы ни получили, положение любого элемента системы будет однозначно определяться данной реакцией на заданное внешнее воздействие. Задавая же дополнительно начальные условия при выбранной нами форме моделирующих уравнений, мы просто будем дублировать условия, которые можно получить при подстановке значения начального момента времени в полученное решение.

В противоположность этому, если бы в качестве моделирующей системы дифференциальных уравнений мы воспользовались общей формой (см. например [12, с. 227]):

(где L = T - U - функция Лагранжа исследуемой системы, q_i, - обобщенные координаты и скорости i-го элемента упругой системы, Q_i^d - обобщенные диссипативные силы), то дополнительное задание начальных условий было бы оправдано недетерминированностью моделирующей системы (5) к конкретной исследуемой системе. Хотя можно показать, что и в этом случае, при детерминированности закона воздействия обобщённых сил на систему, дополнительное задание начальных условий становится избыточным.

Из сказанного следует и обратное утверждение. Если бы мы задавались дополнительными начальными условиями, то в выражении (4) мы обязаны были бы оставлять неопределёнными амплитуду и фазу внешней силы и на основании полученного решения определять указанные параметры, согласуя их с начальными условиями нашей задачи.

Аналогично стоит вопрос и о дополнительных граничных условиях. Если бы мы использовали (5) в качестве моделирующей системы, то доопределение этой системы граничными условиями было бы оправдано. Но, как показали исследования, проведенные в [2]- [9], в этом случае мы были бы вынуждены ограничить свои исследования рамками матричных методов и характеристических уравнений. В противоположность этому, при детерминированности моделирующей системы уравнений конкретной упругой линии, у нас появляется возможность получить полные точные аналитические решения задачи, которые невозможно получить матричными методами. Но при такой конкретизации системы дифференциальных уравнений отпадает необходимость и в дополнительных граничных условиях, поскольку они учитываются непосредственно в самой системе, в чём можно убедиться, взглянув на систему (3). Отсутствие связей на концах упругой линии привело к исчезновению в правой части слагаемых, определяющих связи первого и третьего тела с несуществующими в линии предыдущим и последующим телами соответственно. При этом отсутствуют и дифференциальные уравнения, описывающие динамику этих несуществующих тел.

Таким образом, форма записи системы дифференциальных уравнений (3) совместно с (4) полностью детерминирована по отношению к особенностям исследуемой нами упругой линии, внешней воздействующей силе и начальным условиям.