37

Общее решение для всех гармоник выше первой будет аналогично (31)-(33), с соответствующей заменой эквивалентных сил и множителя при . Вследствие этого, линии резонансов каждой гармоники будут состоять из линий собственных резонансов, расположенных до граничной частоты данной гармоники, и привнесенных резонансов из низших гармоник, которые будут располагаться между собственной граничной частотой данной гармоники и граничной частотой первой гармоники. Общая структура решений для высших гармоник позволяет сделать вывод, что условие сходимости ряда (8) вне области резонансов будет аналогичным ранее полученному условию для третьей гармоники (29). В области резонансов амплитуды гармоник повторяют резонансные кривые всех низших гармоник и привносят свои собственные резонансные частоты. Поэтому сходимость ряда (8) в целом для упругой линии без сопротивления будет фактически определяться только областями вне резонансов. В областях резонансов все гармоники будут обращаться в бесконечность при частотах, соответствующих резонансным частотам предыдущих гармоник.

Следует отметить, что при исследовании ангармонических колебаний Ландау также пришёл к рекуррентному соотношению при разложении функции Лагранжа до членов третьего порядка. При этом для нормальных колебаний, например, во втором приближении он получил [22, с. 110]

где  ⁽¹⁾, _a⁽²⁾ - нормальные координаты первого и второго приближения соответственно. Однако в отсутствии точных аналитических решений для первого приближения (первой гармоники), дальнейшее исследование ограничилось поиском комбинационных частот высших гармоник. Вследствие этого, при подходе, изложенном Ландау, невозможны ни выявление факта уменьшения граничной частоты с ростом номера гармоники при наличии трёх режимов колебаний каждой гармоники; ни выявление "привнесенных" резонансов; ни выявление аналитической зависимости амплитуд колебаний гармоник от параметров исследуемой системы; ни запись спектрального разложения в виде функционального ряда. В противоположность этому, в рекуррентном соотношении, базирующемся на точных аналитических решениях, эквивалентные силы не сводятся к первым и вторым производным от нормальных координат, но зависят только от амплитудных смещений низших гармоник, а резонансные колебания высших гармоник имеют значительно более сложную структуру, чем упрощенное представление в виде комбинационных частот. Это позволяет сделать спектральный анализ нелинейного динамического процесса значительно более точным и полным. Но главное отличие заключается в том, что в рамках представленной здесь методики отпадает необходимость решать оригинальную задачу для каждой гармоники. Достаточно иметь общее решение для линейной системы уравнений типа (39), чтобы рекуррентно находить функциональные зависимости для любой гармоники. К тому же, это удобно и с точки зрения создания программ для численного расчёта.

4. Перспективы развития метода

Общность полученного решения для всех гармоник динамического процесса позволяет на базе точного аналитического решения эквивалентной линейной задачи последовательно получить спектральное разложение мгновенного смещения каждого из элементов системы нелинейной упругой системы в аналитическом виде. Причём выявленное рекуррентное соотношение не ограничено конкретно выбранной простой моделируемой системой. Достаточно посмотреть широкий комплекс моделирующих дифференциальных уравнений, приведенный в ранее указанных работах [9]- [16], чтобы убедиться в одинаковой их структуре. А значит, сколь бы сложную модель упругой линии мы ни исследовали, если мы будем подходить к моделированию с точки зрения полноты описания конкретной модели, позволяющего получить точные аналитические решения для соответствующей линейной модели, то обязательно будем получать последовательный ряд систем линейных уравнений для гармоник процесса. Это обусловлено тем, что степенное разложение коэффициента жёсткости обязательно будет содержать линейную часть, которая будет формировать линейную систему уравнений для каждой гармоники спектрального разложения. Степенные же члены спектрального разложения в любом случае будут зависеть только от мгновенных смещений низших гармоник, а потому могут быть представлены в виде эквивалентных сил, связывающих динамические процессы в исследуемой гармонике с низшими гармониками.

Диапазон справедливости найденных рекуррентных соотношений не ограничен нелинейностью коэффициента жёсткости. Метод прекрасно работает как при наличии нелинейного сопротивления, при разложении последнего в степенной ряд по скорости смещения элементов линии, так и в случае сложного спектрального состава внешней воздействующей силы. Точно так же линия может быть неоднородной и содержать, например, нелинейные связи только в некоторой части упругих соединений. В этом случае, как видно из рассмотрения, эффективные силы сохранятся только в тех уравнениях систем всех гармоник, которые описывают указанные нелинейные связи. Общая же структура решения сохранится неизменной.

Но главным достоинством полученных решений является их точность. Как было показано в ходе решения задачи, при нахождении гармоник динамического процесса мы не использовали асимптотических приближений или условий малости параметров, кроме стандартной аппроксимации коэффициента жёсткости степенным рядом. Решение для каждой гармоники находилось точным аналитическим методом, поскольку в каждом случае задача без уменьшения общности сводилась к линейной системе уравнений, имеющей точные аналитические решения. В результате мы получили функциональный ряд, который не обязательно будет убывающим, и вне области резонансов его сходимость определяется неравенством (29). Но, кроме того, мы обязаны учитывать и тот фактор, что в идеальной линии амплитуда резонанса бесконечна, и на её значение не оказывает влияние общее уменьшение амплитуды колебаний с ростом номера гармоники. Причём особенность состоит ещё в том, что в общем решении для идеальных линий плотность резонансных частот растёт в направлении низких частот, и можно доказать, что при = 0   данная плотность обратится в бесконечность. Подобная проблема легко преодолевается при учёте сопротивления, которое обязательно присутствует в любой реальной упругой системе. В этом случае, вследствие конечности амплитуды резонанса [11], процесс роста плотности резонансов будет компенсироваться резким понижением их амплитуды, вследствие чего бесконечный спектральный ряд может быть ограничен условиями заданной точности решения задачи.

В заключение хотелось бы ещё раз обратить внимание на важное свойство полученных решений. Как мы видели в предыдущем пункте данной работы, для последовательного нахождения спектральных гармоник достаточно иметь решение одной линейной задачи, соответствующей исследуемой нелинейной. Таким образом, проблема последовательного нахождения высших гармоник колебательного процесса не усложняется с ростом номера гармоники, поскольку для нахождения любой высокой гармоники достаточно иметь общий алгоритм решения, подставляя в него последовательно соответствующие значения эквивалентных сил и номер гармоники. Это как раз и есть преимущество, обеспечиваемое аналитическими методами решения задачи, о чём писал Черепенников [8], которого мы цитировали во введении.