т.4 No 1

41

Об устойчивости орбит осцилляторов

2. Анализ существующей постановки задачи о движении электрона в центральном поле ядра атома

Согласно постановке задачи, для упрощения моделирования движения электрона в центральном поле атома, Нильс Бор в [2] ввел ряд вполне оправданных с точки зрения математической физики ограничений:

Во-первых, "мы допустим, что электрон в начале взаимодействия с ядром находится далеко от ядра и не обладает относительно него заметной скоростью" [2, с. 87].

Во-вторых, "допустим далее, что после встречи с ядром электрон попадает на стационарную орбиту вокруг ядра" [2, с. 87].

В-третьих, "примем, что орбита, о которой идет речь, круговая. Это допущение не вызовет изменений для систем, содержащих только один электрон" [2, с. 87].

Наконец, в-четвертых, "ради простоты примем, что масса электрона пренебрежимо мала по сравнению с массой ядра, а скорость электронов мала по сравнению со скоростью света" [2, с. 86].

Последнее допущение введено в связи с тем, что в более общей постановке, "задача о движении системы двух частиц эквивалентна задаче о движении одной частицы, находящейся на расстоянии от неподвижного центра и обладающей массой, выраженной через массы обоих частиц формулой

[1, с. 178]. "Допущение неподвижного ядра было бы оправдано лишь в том случае, если бы массу ядра можно было считать бесконечно большой по сравнению с массой электрона. В действительности же отношение массы водородного ядра к массе электрона равно

и при огромной точности современных спектроскопических измерений пренебрежение конечной величиной массы ядра недопустимо" [1, с. 338].

В существующих теориях это обстоятельство обычно уточняется путем введения соответствующей поправки при нахождении постоянной Ридберга. "Для точного решения задачи о двух телах следует в формуле

(где E_n  - квантовые значения энергии для последовательного ряда целых значений n, m - масса электрона, e - заряд электрона, Z - число электронов в атоме,h - постоянная Планка - авт.) вместо массы электрона необходимо ввести приведенную массу электрона и ядра:

где M_Z  - масса ядра с атомным номером Z. Формула

(где R - постоянная Ридберга, с - скорость света в пустом пространстве - авт.) при этом примет вид

[1, с. 339].

Здесь следует отметить, что пренебрежение движением ядра атома сохраняется и в квантовомеханическом подходе к задаче. Обычно, постановка задачи о водородоподобном атоме при этом подходе имеет следующий вид.

"Рассмотрим теперь применение уравнения Шредингера к решению задачи о водородоподобном атоме. Потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ядра будет в этом случае

Предполагая, что масса ядра бесконечно велика по сравнению с массой электрона, мы сводим задачу к движению электрона относительно неподвижного центра, т.е. к задаче одного тела" [1, с. 547].

Вместе с тем, пренебрежение конечным отношением масс протона и электрона отражается не только на механической модели системы. Следует учесть, что главным отличием модели атома от обычной механической системы является наличие потенциальных полей, которые и обуславливают само взаимодействие электрона и протона. При этом даже внешне несущественное движение источника поля принципиально может не только сместить центр масс системы, но и изменить условия взаимодействия зарядов, и данное обстоятельство уже невозможно учесть путем введения поправки в конечное решение. Учитывая это, мы в дальнейшем исследовании сконцентрируем свое внимание на исследовании динамического поля ядра водородоподобного атома, в поле которого движется орбитальный электрон.