87

Влияние излома на картину колебательного процесса в линии

В частности, в геофизике общепринятая модель тектонического землетрясения [9, с. 242- 244] полагает, что поверхность Земли воспринимает радиальный толчок из глубины до 700 км, который выходит на поверхность в виде поперечной, продольной и рэлеевской волн, различные скорости распространения которых (9,6; 5 и 3–3,5 км/с соответственно) обусловливают три фазы сотрясений [10, с. 290–297], [11], [12]. При этом вертикальные движения коры образуют сбросы, трещины, разломы, и “вдоль особенно больших трещин расположены эпицентры землетрясений, или эти трещины сами являются эпицентрами. В странах столового строения сейсмические явления наблюдаются гораздо реже… Однако большая трещина, идущая вдоль восточного берега Мадагаскара, по-видимому совпадает с линией частых, хотя и слабых землетрясений. Также и эфиопский сброс с его продолжением по Красному морю и долине Иордана совпадает с зоной землетрясений, в которую входят сейсмические центры Ливана и Абиссинского плоскогорья. Сейсмические области Исландии, по данным Тороддсена, совпадают с участками, которые отделены один от другого сбросами. Рейнская сбросовая впадина, между Базелем и Майнцем, неоднократно подвергалась землетрясениям, правда, очень незначительным… Иногда сейсмические движения распространяются по всему протяжению горста, тогда как осевшие области, примыкающие к нему, остаются более или менее устойчивыми. Продольные трещины древних горных цепей также иногда являются ударными линиями, как например трещины Каледонского канала в Шотландии. Особенно же сильно подвержены землетрясениям трещины, соответствующие углам перегиба гирляндообразно расположенных складчатых гор, и это совпадение особенно характерно для третичных горных цепей, окаймляющих Азию. Чаще, чем где-либо на земном шаре, проявляются сейсмические движения в большом грабене в Японии. Почти все индийские землетрясения сосредоточены в углах, где Гималайская дуга сходится по одну сторону с Иранскою и по другую – с Малайскою. К сожалению, до сих пор не было обращено достаточно внимания на тесную зависимость линий схождения складок с ударными линиями. Между тем такая зависимость наблюдается и в древних складчатых областях; так например эпицентр скандинавского землетрясения 23 октября 1904 г. находился на оси впадины Христиании, а рои землетрясений Фоггланда были сосредоточены в углу, образуемом Рудными горами и Тюрингенским лесом” [10, с. 301–303].

Землетрясения, обусловленные тангенциальными движениями коры, т.е. наиболее частые и интенсивные [10, с. 303], “почти исключительно сосредоточены в горных цепях сравнительно недавнего образования… таким образом, почти все сейсмические зоны… локализованы на геосинклиналях, для которых и являются характерными” [10, с. 303]. Далее, “степень сейсмичности морских берегов соответствует степени крутизны склонов” [10, с. 304].

Задачи подобного типа обычно решаются как задачи колебаний сплошного тела [13], [14], [15], [16], [17]. Однако в полном объёме учет всех характерных особенностей представляет значительно более сложную математическую проблему. Например, согласно Мюллеру [18], “твердые горные породы земной коры в ненарушенном состоянии встречаются очень редко… На это обстоятельство строители долгое время не обращали должного внимания и даже вовсе упускали его из виду. И теперь еще часто высказывается неправильное мнение о том, что твердая горная порода представляет собой нечто цельное, сплошное “единое тело”... Это представление в природе почти нигде не подтверждается и принципиально ошибочно. Скальный горный массив с точки зрения механики является “системой многих тел” (Мюллер [18]), “подобной сухой кладке из плотно пригнанных камней” (Стини [19])… При полном естественном расчленении…, когда горная масса насквозь “пронизана трещинами”, причем отдельные тела, ограниченные трещинами, располагаются совершенно изолированно, как строительные камни в контейнере или в мозаике, порода с полным правом может быть названа системой многих тел… Если монолит считается сплошной средой и подчиняется законам механики сплошной среды, системы нескольких тел и многих тел (среднетрещиноватая и сильнотрещиноватая системы) представляют собой несплошные, дискретные среды, поведение которых должно определяться законами механики несплошной среды, науки, еще не существующей” [18, с. 14- 15].

Таблица 1. Значения модуля упругости горных массивов, определенные экспериментально [10, с. 56- 61] (выдержки)

Кроме этого, при моделировании процессов важно учесть неравенство поперечной и продольной жёсткости упругой системы. Последнее хорошо демонстрирует таблица 1, взятая из [18, с. 56- 61]. В ней хорошо видно, что для основных пород, слагающих внешнюю мантию, отношение поперечного модуля упругости к продольному составляет приблизительно 1,5–2. Более того, следует здесь отметить и тот известный экспериментальный факт, что “один и тот же материал может вести себя упруго, пластически, вязко и хрупко в зависимости от природы, величины и времени действия нагрузки… Если мы, руководствуясь методическими соображениями, принимаем (мысленно или при эксперименте), что эти факторы постоянны, тогда можно математически описать отдельные типы поведения материала; при этом мы говорим о свойствах материала, как о его константах, хотя в действительности они в целом и каждое в отдельности представляют собой переменные характеристики” [18, с. 46]. “Зависимость значения модуля Е от длительности и скорости нагружения установлена для многих материалов… Медленно прикладываемая и длительно действующая нагрузка уменьшает, а быстрая и кратковременная нагрузка увеличивает значение модуля Е” [18, с.51].

Исходя из вышеописанного, многие характерные особенности картины колебательных процессов в столь сложных механических системах можно достаточно полно описать путём исследования одномерных моделей с сосредоточенными параметрами с изломом на некотором k-м элементе, путём введения различных продольной и поперечной жёсткости упругих связей. Эта стало возможным с появлением методики получения точных аналитических решений для одномерной системы с неограниченным количеством упруго связанных тел, давшей принципиально иной подход к задаче. Новая методика, представленная в [20]- [24], рассматривает упругую систему не как совокупность колеблющихся элементов, как это было до сих пор, а описывает в аналитическом виде реакцию на внешнее воздействие упругой линии как единой упругой системы с сосредоточенными массами. Данная методика в равной степени успешно работает и в конечных, и в бесконечных упругих линиях, и в идеальных, и в линиях с сопротивлением, и в однородных, и в неоднородных упругих линиях.

Конечно, весь комплекс проблем, оконтуренных выше, очень широк, сложен, многообразен и не может быть уложен в рамки одного исследования. Поэтому мы сконцентрируем основное внимание на влиянии излома упругой линии на картину колебательного процесса, предполагая, что данные исследования, будучи продолженными, позволят описать дополнительно широкий комплекс явлений, выходящих за узкие рамки поставленной задачи.

С появлением точных аналитических решений для упругих систем с сосредоточенными и распределёнными параметрами [20- 24], полученных без использования матричных методов и обладающих полной детерминированностью по отношению к параметрам исследуемых упругих систем, появилась возможность поиска точных аналитических решений и для линий, содержащих один или несколько изломов. Доказательство же сравнительно простой теоремы значительно упрощает процесс поиска решений и анализ картины колебаний упругой системы. Несколько наиболее характерных примеров из широкого класса задач, которые могут быть исследованы в рамках выполнения условий теоремы, также будут рассмотрены в этой работе.