101

Об условиях аналитичности комплексной функции

К вопросу об условиях аналитичности комплексной функции

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

Специализированная Лаборатория Фундаментальных Исследований SELF

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

Реферат

В статье проанализированы известные определения аналитичности и дифференцируемости функций комплексного переменного и выявлена возможность расширения условий аналитичности и дифференцируемости на функции, осуществляющие неконформное отображение. На основании этого, сформулированы более общие определения аналитичности и дифференцируемости функций, объемлющие существующие. Даны некоторые примеры такого вида функций. На примере неконформного отображения горизонтальной полосы в плоскости Z на воронкообразный гармонический вихрь, исследован характер изменения траектории движения тела в поле данного типа в случае изменения силовой функции поля во времени. Представлена методика решения подобного типа задач, с использованием динамических функций комплексного переменного, осуществляющих аналитическое неконформное отображение.

Ключекые слова: Аналитические функции; Теория комплексного переменного; Динамическое неконформное отображение; траектория тела

1. Введение

В работе [1] были проанализированы способы нахождения производной функции комплексного переменного в случае, когда сама функция не удовлетворяет условиям Коши - Римана, но вместе с тем непрерывна и однозначна в исследуемой области. Показано, что с расширением понятия дифференцируемости функций появляются новые неожиданные возможности для решения дифференциальных уравнений. Но при этом никаких соотношений с другими классами функций комплексного переменного, осуществляющих, например, квазиконформное отображение, исследовано не было.

Вместе с тем, следует отметить, что некоторые из изложенных в указанной статье подходов ранее уже использовались в формализме квазиконформных отображений (см. например [2], [3[, [4]). Как будет показано в данной работе, обобщённый класс отображений, обладающих однозначностью и непрерывностью в исследуемой области, и не удовлетворяющих условиям Коши - Римана, - значительно шире и не может быть ограничен никаким конкретным соотношением типа условий Карлемана, поскольку в любом конкретном соотношении содержащем равенство достаточно несколько видоизменить условие, чтобы получить новый класс функций обладающих непрерывностью и однозначностью в области определения и не подчиняющийся ни условиям Коши - Римана, ни исходному соотношению. И так до бесконечности. Чтобы избежать подобного, желательно установить соотношение, или систему соотношений, которым починялись бы все классы функций обладающих непрерывностью и однозначностью в области определения и, в том числе, классы функций, осуществляющих конформное и квазиконформное отображения.

2. Ограниченность класса функций, осуществляющего квазиконформное отображение

Как известно, в основу квазиконформных отображений была положена система Карлемана:

"Система (1) представляет собой обобщение условий Коши - Римана (при a = b = c = d = 0 мы получаем эти условия); к ней приводятся некоторые задачи теории упругих оболочек, газовой динамики и других разделов механики сплошных сред" [2. стр. 316].

Несколько иное представление данного типа отображений можно представить в виде "системы линейных дифференциальных. уравнений первого порядка эллиптического типа

где a_f , b_f , c_f , d_f - известные функции переменных x и y, для которых всюду в рассматриваемой области D выполняется условие эллиптичности:

"

[2. стр. 320]. "Из решения u(x,y) и v(x,y) системы (2) мы составим функцию комплексного переменного (z) = u + iv и отображение, ею осуществляемое, будем называть квазиконформным отображением, связанным с этой системой." [2.стр. 321].