т.2 No 1 | 105 |
Об условиях аналитичности комплексной функции | |
Но с точки же зрения
трансформации контура окрестности точки z0 при её
отображении на W,
скорость стягивания приобретает первостепенное
значение, поскольку именно отношение скорости
стягивания к точке w0
в плоскости W
к скорости стягивания к точке z0 в
плоскости Z
определяет величину производной вдоль
выделенного направления. При этом, различие
скоростей по различным направлениям ещё не
означает появление разрывов, если оно будет (а
для аналитической функции должно быть) гладкой
функцией от угла Для этого рассмотрим в
плоскости Z
некоторую малую |
|
![]() |
(14) |
Иначе говоря, мы представили
исследуемую нами функцию w (x, y)
в виде сложной функции от |
|
|
(15) |
В свою очередь, |
|
|
(16) |
Из выражений (15) и (16) видно, что,
если выбранная нами дуга (вернее семейство дуг)
будет регулярной в исследуемой С учётом доказанного, для
обеспечения дифференцируемости функции в На основании проведенного исследования и с учетом существующего определения 2 дифференцируемости функций, можно сформулировать определение общей дифференцируемости следующим образом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4: Функция комплексного переменного w = f(z) называется дифференцируемой в общем смысле в точке z = a , если предел |
|
|
(17) |
существует при z = a для любой регулярной дуги в d -окрестности точки z = a, проходящей через точку z = a. Несложно убедиться, что существующее условие дифференцируемости функции по Коши - Риману является частным случаем Определения 4 при дополнительном условии равенства пределов по всем регулярным дугам. Определив условия дифференцируемости в общем смысле, мы тем самым фактически обобщили и условия аналитичности функций в общем смысле, поскольку, согласно стандартному определению 1, условие дифференцируемости является главным критерием аналитичности функции. Поэтому, следуя разбиению определения дифференцируемости на общее и по Коши – Риману, аналитичность функции также может быть теперь определена в общем смысле и по Коши – Риману. При этом, конечно же, класс функций, аналитичных в общем смысле, будет объемлющим для класса функций, аналитичных по Коши – Риману. Само же определение аналитичности останется неизменным с точностью до уточнений, связанных с дифференцируемостью функций. Наконец, приведенное нами
определение аналитичности функции коплексного
переменного может быть легко расширено из Однако следует отметить, что далеко не всякое расширение понятия аналитичности в общем смысле будет проходить столь просто. В частности, будут определенные проблемы с аналитическим продолжением через границу. Но это тема отдельного серьезного исследования. |
Содержание: / 101 / 102 / 103 / 104 / 105 / 106 / 107 / 108 / 109 / 110 /