103

Об условиях аналитичности комплексной функции

Таким образом, мы видим, что, с одной стороны, исследуемая функция (4) не удовлетворяет ни условиям конформности, ни условиям квазиконформности отображения, но , с другой стороны, отображает бесконечно малые окружности в плоскости Z в бесконечно малые эллипсы плоскости W, что характерно именно для квазиконформных отображений. Последнее несложно обобщить и на случай любой функции комплексного переменного, обладающей непрерывными частными первыми производными по x и y в окрестности исследуемой точки. Для этого достаточно обобщить систему (8) и очевидный переход от неё к (9). Ведь при переходе к малым приращениям функции в окрестности точки всеми степенями приращений выше первой мы пренебрегаем. А следовательно, при конечности приращений мы всегда будем получать отображение или на круг или на эллипс. Полученный результат важен с той точки зрения, что вышерассмотренная функция (4) является далеко не единственной и тем более, не является исключением из общего правила. В качестве иллюстрации, на рис. 2,3 приведены ещё две аналогичные функции осуществляющие отображения других типов. Причём, если на рис. 2 в результате отображения происходит трансформация всей области отображения плоскости W, то на рис. 3 трансформируется только сравнительно узкая её область при сохранении конформности в остальной части области отображения с точностью до бесконечно малых величин. Вторым следствием проведенного обобщения является то, что основные теоремы о представлении комплексной функции, доказанные для квазиконформных отображений (см. в частности [2, стр. 316 - 317]), применимы и в более общем случае.

Вместе с тем, проведенное исследование подтверждает высказанное во введении, утверждение о невозможности установления условия аналитичности функции комплексного переменного в виде равенства. Это условие может быть найдено только на основании некоторых более общих принципов, аналогичных тем, которые используются при определении дифференцируемости функций действительного переменного. И этому будет посвящено дальнейшее исследование.

2. Анализ существующих определений аналитичности и дифференцируемости функции комплексного переменного

Как известно,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: “однозначная функция f(z) называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке z = a , если она дифференцируема в некоторой окрестности точки a ” [5, с.197].

В свою очередь,

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: “функция w = f(z) называется дифференцируемой в точке z = a , если предел

существует при z = a и не зависти от способа стремления z к нулю" [5, с.197, подчёркнуто авт.].

Обратим внимание, что в определении аналитичности функции комплексного переменного присутствует только требование её дифференцируемости. Требование независимости предела (10) от способа стремления  z   к нулю, которое является основой для вывода условий Коши - Римана (а в трансформированном виде и условий Карлемана (1)), появляется только в определении 2. Следовательно, если некоторая функция удовлетворяет условиям однозначности и непрерывности в окрестности исследуемой точки, определяющим существование дифференциала функции, но не удовлетворяет условию равенства пределов (10) при стремлении z   к нулю по разным направлениям, то, с точки зрения базового определения аналитичности, это функция также является аналитичной. А значит и ранее исследованные функции, и такие функции, как

не удовлетворяющие, в общем случае, ни условиям Коши - Римана, ни условиям Карлемана, но обладающие непрерывными и однозначными частными производными по x и y , - также являются аналитичными.