СЕЛФ | 104 |
С.Б. Каравашкин т О.Н. Каравашкина | |
The possibility itself to generalise the definition of differentiability of functions of complex variable, with remaining the analyticity definition, means not only broadening the domain in which the definition 1 is true, but reflects the essential transformation of concept of the differential and derivative of a complex function. To explain, consider some point in the -vicinity of the point and its mapping into the point located in the -vicinity of the point (see Fig. 4). Basing on this construction, we can write as follows: Сама возможность обобщения
определения дифференцируемости функций
комплексного переменного при сохранении
определения аналитичности означает не только
расширение области справедливости определения 1,
но является отражением существенной
трансформации представлений о дифференциале и
производной комплексной функции. Чтобы пояснить
сказанное, рассмотрим некоторую точку z1 ,
расположенную в |
|
|
(12) |
Тогда |
|
|
(13) |
Выражение (13) показывает, что при отображении в комплексной плоскости производная не определяет тангенс угла наклона касательной в исследуемой точке, как в случае действительного переменного, но характеризует геометрическую трансформацию контура при отображении. И это естественно должно отразиться и в формулировке определений. Вместе с тем, несложно проследить причину появления требования равенства пределов в определении 2 построенного по аналогу условий дифференцируемости функций одного действительного переменного, где требование равенства пределов формулировалось следующим образом: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3: "Число
b
называется предельным значением функции y = f (x)в
точке x = a
(или пределом функции при x Для функций действительного
переменного указанная жёсткость определения 3
вполне оправдана, поскольку обусловлена тем, что
в этом случае под понятием любой сходящейся
последовательности понимается некоторое
счётное множество x1,
x2, ..., xn, ...
отображаемое на предполагаемую гладкую
одномерную кривую в В случае комплексных функций мы
имеем дело с двумерным отображением области
определения Z
на двумерную область значений W. При этом,
каждая дуга в |
Содержание: / 101 / 102 / 103 / 104 / 105 / 106 / 107 / 108 / 109 / 110 /