107

Об условиях аналитичности комплексной функции

Несмотря на необходимость одновременного использования двух отображений, свойство динамических комплексных функций описывать силовую функцию поля в плоскости позволяют решать задачи динамики в сложных динамических полях, которые часто встречаются в гидро- и аэродинамике, электрофизике, акустике, геофизике и т.д. При этом, естественно, необходимость использования в процессе исследования полей двойного отображения вносит свои особенности, которые мы попробуем показать на конкретном несложном примере, по определению траекторию движения тела с массой m в поле сил, описываемых выражением (18) и рис. 5.

Предположим, что в момент времени t = 0 тело находилось в точке w₀(x₀, y₀) . С этим моментом времени свяжем стационарное отображение, между плоскостями Z и W . В данном примере это отображение будет описываться выражением (4). Поскольку задача плоская, положим, что убывание амплитуды силового поля происходит вдоль силовых линий (что очень сложно учитывается обычными методами при сложной конфигурации силовых линий) и пропорционально первой степени расстояния от цента поля, также вдоль силовых линий.

Так как в рассматриваемой задаче, силовым линиям плоскости W соответствуют линии x = constплоскости Z, то степень затухания пропорциональна . Постоянный множитель в знаменателе введен для соответствия метрик плоскости W и плоскости Z вдоль силовой линии поля. Он определяется стандартным образом:

Направление действия силы в каждой точке, как общеизвестно, будет определяться направлением касательной к силовой линии поля. Учитывая к тому же, что в нашей задаче поле действует на тело в направлении к центру поля, тангенс угла наклона силы может быть определён следующим образом:

Последнее преобразование обусловлено тем, что в рассматриваемой задаче, в плоскости Z силовым линиям соответствует уравнение y = const. Подставляя (18) в (20), получим:

где .

Принимая во внимание сделанное нами доопределение силового поля, дифференциальное уравнение движения тела можно записать в виде:

:где K_F - коэффициент, определяющий амплитуду воздействия поля на исследуемое тело.

В уравнении (22) зависимость w(z) соответствует стационарному неконформному отображению, поскольку особенности динамики процесса мы полностью учли при доопределении силового поля. Вместе с тем, для правильного подхода к решению уравнения (22), нам следует учитывать, что, несмотря на стационарный характер отображения w(z), смещению тела во времени в плоскости W будет соответствовать изменение координат прообраза в плоскости Z.Поэтому, при нахождении решения дифференциального уравнения (22) мы обязаны учитывать, что не только для точек траектории тела в плоскости W существует зависимость от времени, но и для их прообразов в плоскости Z также подобная зависимость имеет место.