108

С.Б. Каравашкин т О.Н. Каравашкина

Таким образом, для нахождения траектории тела в исследуемом силовом поле нам необходимо совместно решить следующую систему уравнений:

Систему (23) удобно решать численными методами, поскольку все предпосылки, учитывающие особенности движения тела в исследуемом силовом поле сделаны нами без каких либо искажающих допущений.

Для составления схемы расчёта разобьем исследуемый временной интервал на большое число n равных отрезков t . Далее, используя самый простой метод Эйлера, проинтегрируем правую часть уравнения (22). При этом получим:

где _i, x_i, y_i   берётся вначале  i-го временного интервала, в том числе x₀, y₀   являются координатами прообраза начального положения тела при t = 0; C₁₀ - постоянная интегрирования, определяющая начальную скорость тела.

Второй интеграл по времени находим аналогично:

где постоянная C₂₀ определяется координатами начального положения тела в плоскости W.

Фактически, рекуррентные соотношения (24) и (25) определяют скорость и положение тела в плоскости W в конце каждого малого временного интервала при известных значениях вначале интервала. Чтобы эти соотношения начали работать необходимо установить связь между координатами образа и прообраза положения точки вначале каждого малого временного интервала. Это несложно сделать используя стационарное неконформное отображение (последнее выражение системы (23)). Принимая во внимание малость выбранного нами интервала, мы можем с достаточной степенью точности записать:

Проходя последовательно временные интервалы, мы на каждом из них левую часть выражения (26) определяем путём расчётов выражений (24), (25). Частные производные в правой части системы мы также можем определить, дифференцируя последнее выражение системы (26) по x и y с подстановкой значений соответствующих началу каждого временного интервала. Поэтому, решая (26) относительно  x и  y  мы определяем соответствующие смещения прообраза точки и обеспечиваем рекуррентность выражений (24), (25).

На рис. 6 приведены графические результаты расчётов траектории движения тела в зависимости от частоты трансформации поля для задачи, представленной в начале данного параграфа. Исходные данные для расчёта были выбраны следующими: K_F = 20 Н; m =1,0 кг; x₀ = 14 м; y₀ = 0 м; a = 0,2 м^-1; b = /3; c = 1 м^-1; p = /4 м^-1; t₀ = 0 с; t = /1200 с^-1; n = 9600 ( четыре периода изменения поля во времени). Длина представленных на диаграмме траекторий, кроме отмеченных звёздочкой, соответствует трём периодам изменения поля во времени. Для визуальной привязки к характеристикам поля на графике показано положение его силовых и эквипотенциальных линий в начальный момент времени.

Мы видим, что в стационарном силовом поле ( = 0 с^-1) тело движется по касательной к силовой линии, на которой оно находилось в начальный момент времени. В процессе движения тело смещается от оси стока в область слабого поля; воздействие поля уменьшается и способно только незначительно искривить траекторию.

С появлением временных трансформаций поля, траектория смещается к оси стока (по часовой стрелке) и длина её уменьшается, а характер усложняется. Траектории, соответствующие = 0,2; 0,25; 0,3; 0,325 с^-1, рассчитаны для четырёх периодов изменения поля. При данных частотах, прежде, чем выйти на периферию поля, тело испытывает ряд отражений, характер которых в первую очередь определяется частотой изменения поля. При = 0,2 с^-1 тело движется в своеобразном коридоре, четырежды отражаясь силовыми линиями. При = 0,25 с^-1 тело после сложного двойного отражения, движется по эквипотенциальным линиям поля, пока, ещё раз не отразившись, покидает центральную область. При = 0,3 с^-1 тело сначала огибает центр поля справа, отражается силовыми линиями, продолжает движение по эквипотенциальной линии в обратном направлении, снова отражается в направлении центральной области поля, проходит очень близко от его ядра, после чего уходит на периферию слева от центра поля. Наконец, при = 0,325 с^-1, тело движется по касательной к центру поля, резко отражается в направлении центра, и уходит на периферию. Но, как мы видим, ни в одном случае тело не втягивается в "воронку" поля, что обусловлено нецентральным характером силового воздействия, при центральном характере поля в целом. Следует ожидать подобные явления и в других полях, таких, как экспоненциальный вихревой сток.

С дальнейшим увеличением частоты поля длина траектории снова растёт, и сама траектория продолжает разворачиваться по часовой стрелке. Но это происходит только до частот 0,4 с^-1. Далее разворот траектории продолжается, но торможение тела возрастает (хотя уже и не имеет уже вида отражений силовыми линиями, как в ранее описанном частотном диапазоне). Длина траектории при этом уменьшается.

Наконец, при частотах, выше = 0,6 s^-1, не только длина траектории уменьшается, но и разворот траектории происходит в обратном направлении. При этом, сначала тело активно реагирует на изменение поля, совершая малые поперечные колебательные движения, но по мере роста частоты, эти колебания сглаживаются и траектория плавно по касательной огибает ядро поля.

С уменьшением массы тела, описанные закономерности движения в воронкообразном гармоническом поле сохраняются, хотя хаотичность движения и частота отражений силовыми линиями возрастает.