т.2 No 1

39

Несогласованные лестничные фильтры

Далее, в соотношениях (8) важную роль играет частота внешнего возбуждения. Это обусловлено тем, что исходная система (1), моделирующая механическую линию, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в то время как электрическая линия моделируется с использованием интегро-дифференциальных уравнений (5). Именно поэтому, прежде чем устанавливать соотношения между моделями, необходимо было привести обе системы уравнений к единому алгебраическому виду. Прямым следствием данного приведения стало появление зависимости от частоты в соотношениях (8). Получить же соотношения (8) в рамках существующего подхода, и тем более для лестничного фильтра общего вида – невозможно ни дифференцированием, ни интегрированием. Только при переходе от системы дифференциальных уравнений к алгебраической системе появляется и вышеуказанная особенность в соотношениях электромеханической аналогии.

Принципиальные отличия между существующими системами аналогий в табл. 1 и системой (8) позволяют говорить о том, что лестничным фильтрам присуща своя система соответствий, которая в силу своей особенности была нами определена как Динамическая Система Электромеханической Аналогии (ДЭМА).

Одним из главных преимуществ метода ДЭМА является то, что он базируется на полном комплексе решений для упругой механической линии, который включает в себя решения для вынужденных и свободных колебаний. Связывая при помощи ДЭМА различные области знания, можно, используя новые результаты в области механики, во-первых, обеспечить развитие в области лестничных фильтров (а следовательно, и сетей, каскадов, передающих линий и т.д.), и во-вторых, объединить разнородные модели, обеспечив тем самым более широкие возможности для математического и физического моделирования самых разнородных по своей физической природе процессов и систем. Тем самым мы приближаемся к наиболее общему понятию аналогичных моделей, сформулированному Карплюсом: “Две системы являются аналогичными, если их реакция на аналоговые возмущения проявляется в подобной форме” [8, с. 36].

Рис. 2. Принципиальная схема конечной механической упругой линии с незакрепленным концом (а) и соответствующего ей лестничного фильтра (б)

3. Исследование ненагруженного и короткозамкнутого конечных лестничных фильтров

Using the DEMA relationship and results [], determine the characteristics of an unloaded and shorted ladder filter. In Fig. 2 the diagrams of mechanical elastic line with unfixed end containing  masses are shown as well as an equivalent ladder filter with an open output. On the basis of solutions presented in [11] and relationship (8), the solutions for an unloaded electrical filter will have the following form:

Используя полученные соотношения ДЭМА и результаты [11], определим характеристики ненагруженного и короткозамкнутого лестничных фильтров. На рис. 2 приведены схемы механической упругой линии с незакреплённым концом, содержащей n масс, и эквивалентного ей лестничного фильтра с разомкнутым выходом. На основе решений, приведенных в [11], и соотношений (8) решения для ненагруженного электрического фильтра при вынужденных колебаниях будут иметь вид:

в зоне прозрачности фильтра при _el <1

в зоне непрозрачности фильтра при _el >1

и при частоте среза _el =1

где – частота внешнего тока I (t), – начальная фаза внешнего тока I (t), _el = (-₁ / 4₂ )^1/2, _el = arcsin _el , _el+ = _el + (_el - 1)^1/2 , _el- = _el - (_el - 1)^1/2 , i = 1, 2, ... , n – номер исследуемого узла фильтра, n – в данном случае и дальше количество расчётных узлов фильтра.

Как и полагается, в зоне прозрачности решения описывают стоячие колебания с n резонансами, возникающими при выполнении условия