72

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

2. Сравнительный анализ основных существующих методик

При всем разнообразии используемых методик можно выделить несколько базовых, на которых строится весь спектр вариаций.

Так, для построения самой математической модели используются, в основном, два базовых метода: метод Лагранжа, основанный на балансе энергии, и метод баланса сил на элементах упругой системы. Преимуществом метода Лагранжа является прямая возможность постановки задачи в обобщенных координатах для систем со многими степенями свободы, что делает его выгодным в фундаментальных исследованиях сложных колебательных процессов. Метод же баланса сил более нагляден и прост при построении конкретных моделей упругих систем, а потому чаще используется в прикладных разработках. Оба метода дают идентичные результаты, а потому больших проблем на этом этапе математического моделирования, как правило, не возникает. Основные проблемы появляются при поиске решений. Для их анализа ограничимся одномерными идеальными упругими линиями, что соответствует теме проводимого в данной статье исследования.

Существующие в настоящее время методики поиска аналитических решений базируются, как правило, на одном из трех подходов к решению задачи о колебаниях в упругой системе:

- с непосредственным использованием матричных методов (см., напр., [4]- [10]);

- с использованием методов решения интегральных уравнений (см., напр., [11]);

- с использованием усовершенствованных методов на основе свойств матриц, к которым относится использование осцилляторных матриц, матриц Вороного, матриц Теплица и т.д. ([12], [13]);

- с использованием косвенных методов, основанных на выявлении закономерностей в конкретных моделирующих системах дифференциальных уравнений (см., напр., [4], [14], [15]).

В свою очередь, в основу решений задач о вынужденных колебаниях, как правило, положено исследование однородной системы дифференциальных уравнений, которая соответствует свободным колебаниям в упругой модели. Это связано с тем, что резонансные частоты для вынужденных и свободных колебаний совпадают. Поэтому целесообразно начать анализ с этого типа методик.

Для матричных методов характерна следующая структура решений. Воспользовавшись уравнением Лагранжа второго рода

где - кинетическая энергия системы, - потенциальная энергия системы, q_j и q_k - обобщенные координаты системы, получают систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Решение этой системы дифференциальных уравнений ищется в виде

где A_k, и - постоянные величины, подлежащие определению.

Подставляя (3) в (2) после очевидного сокращения, получают алгебраическую систему уравнений типа

“Чтобы эта система уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

[8, с. 529]. “Характеристическое уравнение (5) представляет собой алгебраическое уравнение 2s-й степени относительно и, следовательно, имеет 2s корней, т.е. 2s собственных значений ( = 1, 2, ..., 2s). Система (4) после подстановки в нее данного корня определяет отношение между “амплитудами” C_k:

Общее решение системы дифференциальных уравнений (2) можно записать в виде действительной (или мнимой) части суммы частных решений, т.е. в виде

где амплитуды  (а точнее, их отношения) определяются системой (6), а корни - уравнением (5)” [7, с.263].