т.2 No 1

73

Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний

Как видно из рассмотрения, матричный метод решения, хотя и считается аналитическим, по сути является численным методом нахождения решений, поскольку все основные параметры колебаний в общем случае могут быть получены только в виде чисел. “Решение этих уравнений требует сперва нахождения соответствующих определителей, что при написанной их форме и при сколько-нибудь значительном числе строк практически невозможно или требует громадной работы” [6, с. 98]. “Само собой разумеется, что непосредственное нахождение определителя из (4n +4)² элементов (4n условий сопряжения плюс 4 граничных условия – авт.) было бы невозможно и к тому же бесполезно, ибо величины корней его могли бы быть вычислены лишь численно, а не при буквенном задании” [6, с. 161]. “Даже при нахождении частоты и формы первого основного колебания системы используют различные приближенные методы, поскольку при большом количестве степеней свободы точное решение задачи невозможно” [9, с. 162]. Этот недостаток, кроме того, существенно ограничивает применимость матричных методов к расчету конечномерных упругих систем, а также обусловливает появление косвенных методов аналитического определения основных параметров колебательных процессов. Эти методы, как было уже сказано, опираются на некоторые закономерности, выявленные для конкретных математических моделей, а потому имеют более узкую область применимости.

Один из наиболее часто употребляемых косвенных методов изложен в работе К. Магнуса [4, с. 278- 282]. Согласно этому методу, “для расчета собственных колебаний рассмотрим схему бесконечной одномерной упругой линии. При одинаковых массах  m_p = m и жесткости пружин c_p = c получим уравнение

Заведомо существующее главное колебание p-й массы будем искать в виде

Подставляя это решение в (8), будем иметь

После некоторых преобразований (9) приводится к виду

где

“Отсюда можно последовательно вычислить все _p , поскольку граничные условия, т.е. условия на обоих концах цепи, известны” [4, с. 279]. Далее автор ограничивается рассмотрением случая жесткого закрепления обоих концов упругой линии, т.е.

Тогда уравнения (10) приводят к следующим результатам:

Эти функции “часто используются для расчета собственных частот колебательных цепей (в частности, [16]). Собственные частоты можно определить как нули (n+1)й частотной функции (12). Т.е. для безразмерных собственных частот  _q справедливо

Таким образом, собственные частоты отличаются тем свойством, что для них автоматически выполняется граничное условие _n+1 = 0 , заданное на конце линии. Таблицы нулей частотных функций до n=11 приведены в [16, т. II, гл. XIII]” [там же, с. 279].

Из приведенного краткого описания видны и недостатки рассматриваемого метода. Для нахождения собственных частот все равно необходимо решать степенное уравнение, для которого, как известно, точные решения выше четвертой степени (в данном случае 8-й степени) не могут быть получены в аналитическом виде. Правда, автор вслед за этим приводит и аналитический метод. “Собственную частоту можно выразить и в явном виде. С этой целью попытаемся найти решение системы (9), положив