СЕЛФ

74

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

При этом первое из условий (11) удовлетворяется автоматически. Для того, чтобы вместе с тем удовлетворить и второе, должно выполняться равенство

или

С другой стороны, при подстановке выражения (13) в уравнение (9) будем иметь

Так как значения C = 0 и p = 0 нас не интересуют, это условие может выполняться только тогда, когда

или

[4, с. 280].

Несмотря на эффектные преобразования, приведенный метод не решает до конца всех проблем поиска аналитического решения. Ведь даже при точном определении _q амплитуда колебаний должна определяться на основе полиномов (12) с возрастающей сложностью расчетов при росте n . И значения все равно будут иметь численный вид, что не позволяет рассматривать данный метод как строго аналитический. К тому же, метод аналитического определения _q ограничен не только однородными конечными линиями, но и граничными условиями. Как было показано выше, для жестко закрепленных концов метод дает решение, но если хотя бы один конец будет нагружен или свободен, вся структура метода будет нарушена. Действительно, как показано в [1], для линии с незакрепленными концами “в соответствии с разрешенными частотами решение системы уравнений имеет вид

где _i - смещение i-го элемента, A - амплитуда колебаний первого элемента линии, _p = - параметр, соответствующий разрешенным частотам _q , рассчитываемым аналитически в процессерешения, s - коэффициент жесткости упругой линии. Из (19) видно, что при i = n на конце линии амплитуда колебаний не будет максимальна, как мы привыкли считать для линии с распределенными параметрами, но будет смещена на некоторую фазу _p, зависящую от номера разрешенной моды. Влияние это особенно будет ощущаться на высоких частотах, когда _p будет сравнима с единицей. К тому же на амплитуду колебаний также будет влиять и знаменатель выражения (19). То есть без знания точного аналитического решения, приведенного в [1], задать априори граничные условия для линии с незакрепленными концами невозможно. Но без этого весь метод, изложенный в работе К. Магнуса, недееспособен.

Правда, в настоящее время существует широкая практика переноса граничных условий, справедливых для линий с распределенными параметрами, на линии с сосредоточенными параметрами. В частности, этот прием используется в [6, с. 149- 150] и [11, с. 48- 49] при исследовании вала с n насаженными дисками и балки с n сосредоточенными массами соответственно. Тем не менее, как показано в [1], решение (19) полностью удовлетворяет стандартной моделирующей системе дифференциальных уравнений. Следовательно, при поиске точных аналитических решений для линии с сосредоточенными параметрами указанное различие в граничных условиях учитывать необходимо.

Касаясь известных методов описания бесконечномерных моделей, следует отметить, что в этом направлении определенности еще меньше. В основном все решения ограничиваются нахождением фазы запаздывания процесса вдоль бесконечной упругой линии и дисперсионными характеристиками (см., например, [14, с. 169], [15, сс. 106- 107]). В то же время Пейн пишет: “Самая высокая ультразвуковая частота, полученная в настоящее время, примерно в 10 раз меньше частоты = c₀/2 (критической частоты). В области частот от 5*10¹² до 1*10¹³ Гц следует ожидать много интересных экспериментальных результатов” [14, с. 169]. Действительно, как показывают результаты, приведенные в [2], в бесконечных упругих системах могут существовать как вынужденные, так и свободные колебания. Следует отметить, что они могут иметь место не только в докритическом режиме (ниже критической частоты колебаний), как в конечных линиях, но и в закритической области, когда вся энергия колебаний локализуется в малой окрестности, а не распределена по всей бесконечной упругой линии. В этом случае энергия, запасенная в бесконечной линии, может быть конечной. Эти выводы особенно важны в связи с тем, что многие физические процессы, например, в кристаллах, могут быть смоделированы именно при помощи идеальной бесконечной модели [15, с. 105]. Более того, данное моделирование справедливо и для конечных упругих линий, нагруженных на волновое сопротивление. Поэтому является большим недостатком тот факт, что в данной области отсутствует в настоящее время учет особенностей линии, точки приложения внешней силы, описание картины протекающих процессов и т.д. Этот пробел в некоторой степени был восполнен работой [2]. В настоящей работе будет проведено исследование еще одного важного фактора, связанного с точкой приложения внешней силы. Но объем интересного и важного для исследователей и инженеров материала, связанного с бесконечными линиями, конечно же, значительно больше, и это требует своего особого внимания к данному направлению исследования.