СЕЛФ

78

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

К достоинству метода, предложенного Магнусом, следует отметить, что он не пошел по стандартному пути, вводя граничные условия для незакрепленного конца стандартным образом, а продолжил сложный путь преодоления расхождений в решениях. “Приведенное выше выражение (13) для амплитуды X_p теперь мы можем записать так:

Нововведенная постоянная дает возможность “подогнать” решение к граничному условию в начале линии. Величина не позволяет этого сделать, ибо при подстановке выражения (42) в амплитудное соотношение (9) выясняется, что зависимость между и определяется равенством (16). Отличие от соотношения из предыдущего раздела состоит в том, что при исследовании собственных колебаний сначала должна быть определена как относительная собственная частота, а для вынужденных колебаний, наоборот, - относительная частота возмущения – известна” [4, с. 282]. На этой основе Магнус заменил дискретную связь между и (14) на непрерывную связь ().

Далее, “при заданных здесь граничных условиях с учетом (42) на амплитуды накладываются следующие требования:

[4, с. 283]. В результате

Чтобы сравнить (44) с (37), необходимо учесть, что X_e соответствует амплитуде колебания первого элемента упругой линии (40), 0 p n +1 , в то время как 1 i n . Учтя эти особенности, получим на основе (37):

Учитывая к тому же, что согласно (16) и (19),

получим, подставляя (45) в (37),

что полностью соответствует (44).

Недостатки метода Магнуса видны из самого рассмотрения. Достаточно снять закрепление со второго конца линии, чтобы условие (43) окончательно было нарушено, при этом метод полностью перестанет работать. Кроме того, метод Магнуса установил отношение амплитуд колебаний p-го тела к первому, но не установил отношения колебаний этого тела к амплитуде внешней силы. А она, согласно (45), достаточно сложна. В принципе, этот недостаток как раз и отражает невозможность задать точно колебания на незакрепленном конце линии с помощью граничных условий. И именно потому, что, как следует из (45), эта амплитуда существенно зависит от параметров внешней воздействующей силы. Тем не менее, несмотря на указанные недостатки, метод Магнуса в частном случае конечной линии с одним закрепленным концом полностью подтверждает справедливость решений (37)- (39). И не только в области периодического режима. Далее Магнус на основе полученного решения (44) рассматривает и апериодический (закритический) режим колебаний. “Прежде всего видно, что для всех частот > 2₀, т.е. для всех * = - i, знаки коэффициентов усиления чередуются, и потому массы цепи всегда колеблются в противофазе с соседними массами” [4, с. 284]. “Из поведения функции гиперболического синуса следует, что в самом общем случае для каждой массы значение коэффициента усиления с увеличением  * уменьшается, причем в тем большей мере, чем дальше отстоит масса от начала цепи. Для последней массы цепи (p = n) коэффициент усиления равен

При достаточно больших n эта функция настолько убывает при возрастании частоты, что практически можно говорить о запирании частоты выше граничной. Частоты > 2₀ цепью не пропускаются и она действует как фильтр низких частот” [4, с. 285]. Блейкмор [15] в своем расчете также получает противофазные колебания в критическом режиме для бесконечной одномерной кристаллической решетки, но он не рассматривает ни критический, ни апериодический режимы, из-за неполноты своих решений полагая, что задержка фазы в закритической области превышает . И из-за строгого поглощения “волны с угловой частотой, превышающей _m = 2v₀ / a , не могут существовать в воображаемом одномерном кристалле” [15, с. 110]. Тем не менее, во многих задачах прикладной механики и физики твердого тела важным является не только процесс передачи энергии упругой линией, но и процесс накопления и перераспределения энергии внутри линии. Апериодическому режиму колебаний характерно локальное накопление и перераспределение энергии колебательного процесса. То есть именно тот случай, когда, например, при воздействии внешней силы реакция опор отсутствует даже при критической для упругих связей линии динамической нагрузке в зоне воздействия. И это очень важный аспект в исследовании усталостных процессов в упругих системах. Заметим здесь, что в апериодическом режиме колебания соседних элементов противофазны, а значит, нагружение связей максимально. Важным с этой точки зрения является случай, когда внешняя сила воздействует на внутренние элементы упругой линии. При этом обе опоры не будут ощущать нагрузки, в то время как в зоне воздействия могут иметь место предельные колебания, разрушающие внутренние связи упругой системы. Причем, при сложной зависимости “радиуса воздействия” внешней силы от частоты и параметров упругой системы, очень важно получить решения моделирующей системы уравнений именно в аналитическом виде, который наиболее точно показывает степень влияния отдельных факторов и позволяет качественно производить подбор параметров упругой линии в зависимости от характера внешней силы.