СЕЛФ

84

С.Б. Каравашкин, О.Н. Каравашкина

Сам предельный переход к линии с распределенными параметрами может быть осуществлен на основе полученных решений при условии 0, если представить основные параметры, характеризующие линию, в виде, удобном для осуществления этой операции. То есть

где x₀ - расстояние от отсчетной точки до точки покоя рассматриваемого элемента линии.

Кроме того, необходимо потребовать, чтобы при предельном переходе величины , Т, x₀ оставались конечными. При этом, например, для решения (50) получим

где x_0i  и x_0k - положение в невозмущенном состоянии исследуемой точки и точки, на которую воздействует внешняя сила; x_i - мгновенное положение исследуемой точки в возмущенном состоянии; l - длина линии; _i - величина смещения элемента линии.

Как следует из (73), при переходе к линии с распределенными параметрами сохраняется главная особенность, обусловленная разделением линии точкой приложения внешней силы. Следовательно, структура колебаний в целом сохраняется и, при определенных условиях, колебания возбуждаются только в части упругой линии. Вместе с тем при предельном переходе необратимым образом трансформируется выражение (50), что делает обратный переход невозможным.

При исследовании условия перехода к линии с распределенными параметрами интересно рассмотреть вопрос о трансформации решений для критического и апериодического режимов колебаний. Это исследование удобно провести не на основе конкретных решений, а на условии реализации самих режимов. При a 0 с учетом (53) и (72) имеем

откуда следует, что из трех режимов колебаний при предельном переходе может быть реализован только периодический. Для двух других режимов будут просто отсутствовать условия их существования.

Таким образом, при анализе перехода к линии с распределенными параметрами мы сталкиваемся с исчезновением ряда свойств, присущих именно линиям с сосредоточенными параметрами, что делает описание указанных моделей неадекватным. Причем от описания колебаний в линии с сосредоточенными параметрами можно перейти к описанию колебаний в линии с распределенными параметрами, но наоборот – нет. Допустимо только некоторое частное приближение при выполнении условия (71).

Выводы

В ходе исследования выявлено, что большое влияние на картину колебаний оказывают факторы не только конечности линии, закрепления концов или режима колебаний, но и положения точки воздействия внешней силы, способной, в частности, служить границей квазиконечного участка, в котором формируется стоячая волна, формировать колебания сложной структуры и условия, при которых полностью аннулируется процесс в одном из участков линии при сохранении колебаний в других участках. Все это дает основания говорить об особенности неоднородности, создаваемой в линии точкой приложения внешней силы.

Также выявлено, что в линиях с сосредоточенными параметрами скорость распространения прогрессивной волны нелинейно монотонно убывает с ростом частоты колебаний и достигает минимального значения при _crit , которое сохраняет в апериодическом режиме.

Аналогично и длина волны в линии убывает нелинейно до значения, равного двум расстояниям между элементами линии и эту величину сохраняет в апериодическом режиме.

При предельном переходе к линии с распределенными параметрами апериодический и критический режимы колебаний становятся невозможными. Кроме того, при данном переходе главные особенности решений, обусловленные воздействием внешней силы на внутренние элементы, сохраняются. Вместе с тем при переходе к линии с распределенными параметрами решения претерпевают необратимые трансформации, которые делают обратный переход невозможным.

Установлено, что моделирование линии с сосредоточенными параметрами при помощи линии с распределенными параметрами допустимо только в случае, когда отношение расстояния между элементами линии к длине волны колебаний значительно меньше ^-1 .