т.2 No 1

77

Некоторые особенности моделирования вынужденных колебаний

Рассмотренный матричный метод, как и предыдущий, обладает всеми вышеописанными недостатками, поскольку “работает” только при известных значениях , которые должны определяться численно. Но не только общность недостатков роднит методы. По сути, они являются вариациями одного подхода, поскольку с одной стороны, “так как характеристическое уравнение имеет 2s корней , то () можно представить в виде произведения

где а - некоторая постоянная” [7, с. 296]. С другой стороны, введение главных координат равносильно одновременному приведению двух квадратичных форм T и U  к каноническому виду [7, с. 266]. Из этого можно сделать вывод, что оба матричных метода способны в аналитическом виде предсказать только тот факт, что, “если затухание мало, то каждая амплитуда _k^e будет иметь s резонансных пиков на s частотах _{c a} ( = 1, 2, ..., s). Эти максимумы обращаются в бесконечность, если диссипация энергии отсутствует, т.е. _e 0. В этом случае

[7, с. 297].

Точно так же существенными недостатками обладают и методы решения с использованием матриц Вороного, Теплица и т.д. В первую очередь это обусловлено тем, что несмотря на все попытки упорядочить указанные матрицы и привести их к диагональному виду, эти методы хорошо работают, если задана конкретная последовательность чисел p₀ > 0, p₁ 0, p₂ 0 , ... . Тогда при условии [17, с. 120] можно пытаться найти решения. Но суть задачи заключается как раз в том, чтобы определить эти самые p₀, p₁, p₂, ..., и в особенности  p₀ , определяющие реакцию начала линии на внешнее воздействие. Для нахождения же этих параметров, даже в случае простых моделей, как показано в [2], нельзя воспользоваться априори некоторой стабильной фазой запаздывания, поскольку даже в случае полубесконечной и конечной линий параметры элемента линии, на который воздействует сила, будут различны. К тому же, эти методы, как и интегральные и классические матричные, видят только один режим - до граничных колебаний.

В противовес этому, точные аналитические решения, полученные оригинальным нематричным способом в [1], показывают не один, а три режима колебаний: периодический ( < ₀) , критический ( = ₀) и апериодический ( > ₀) . В частности, для линии с одним закрепленным (правым) концом эти решения имеют вид:

при  < ₀

Сравнение (37)- (39) с (36) показывает их четкую детерминированность и по отношению к параметрам внешней силы, и в зависимости от параметров упругой линии, и в зависимости от частоты резонансов. При этом сложность анализа упругой линии не возрастает с ростом n . Эти решения очень просто могут быть продолжены и на линию с распределенными параметрами, что практически неосуществимо в аналитическом виде матричными методами. Внешне может даже появиться сомнение в надежности решений (37)- (39). Тем не менее, во-первых, как показано в [1], все решения (37)- (39) полностью удовлетворяют моделирующей системе дифференциальных уравнений, построенной стандартным образом. Во-вторых, наличие апериодического режима не является столь большой неожиданностью. Косвенные методы, несмотря на ограниченность области применимости и неполноту результатов, в частных случая также подтверждают физическую реальность этого режима колебаний. В качестве примера рассмотрим оригинальный косвенный метод, описанный К. Магнусом [4, с. 282- 285]. Для нас это тем более интересно, что Магнус, представляя указанный метод, также исследует конечную линию с закрепленным правым концом. В связи с этим появляется возможность сравнения результатов.

Магнус обратил внимание на связь между и в выражении (17); правда, в этом выражении принимала дискретные значения (14). Кроме того, рассматривая вынужденные колебания, он снял закрепление с левого конца упругой линии (фильтра) и заставил его совершать периодическое движение

.

При этом он, естественно, нарушил одно из граничных условий, и это должно было привести к определенным проблемам. Обходя их, Магнус предположил, что “при этом в уравнениях движения (8) для отдельных масс ничего не изменится, и мы можем искать периодическое решение, обладающее такой же частотой, что и возмущение, и приходящее либо в фазе с возмущением, либо в противофазе с ним, положив