т.2 No 1

17

Исследование одномерной однородной линии с сопротивлением

Некоторые особенности колебаний в однородной одномерной упругой линии с сосредоточенными параметрами, обладающей сопротивлением

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

Специализированная Лаборатория Фундаментальных Исследований СЕЛФ

e-mail: selftrans@yandex.ru , selflab@mail.ru

В работе приведены результаты исследования влияния сопротивления на колебательные процессы в полубесконечной упругой линии с сосредоточенными и распределёнными параметрами. В частности, выявлено, что для данного типа линий прогрессивный характер колебаний сохраняется и при частотах выше граничной, а фаза запаздывания всегда меньше значения, соответствующего первой зоне Бриллюэна. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными по исследованию фазовой скорости распространения ультразвуковых колебаний в углекислом газе показывает, что учёт сопротивления позволяет существенно уточнить известные модели и способствует их более полному соответствию экспериментальным данным

Ключевые слова: теория многих тел, волновая физика, комплексные резонансные системы, частные дифференциальные уравнения

1. Введение

Как известно, подавляющее большинство прикладных моделей учитывает диссипативные силы, обусловленные сопротивлением. Этому вопросу посвящено большое число работ, в частности, [1]- [9]. Тем не менее, сам процесс исследования затруднён влиянием нескольких факторов. В первую очередь, для упругих линий с сосредоточенными параметрами существующие математические методы приводят, как правило, или к матричным методам, которые для систем многих тел способны давать только численные решения, или непосредственно к численным методам типа метода Ритца, метода асимптот и т.д. Так, в [8] для стандартной моделирующей системы уравнений, построенной на основе уравнения Лагранжа

(где Q_j^e(t) - заданные функции времени,  a_jk , b_jk , c_jk , _jk - параметры, характеризующие упругую систему,  _jk - обобщенные координаты k-го элемента системы, s - количество элементов системы), комплексная амплитуда колебаний ищется в виде [8, с.296]

(где _e - длина волны, соответствующая частоте внешнего воздействия, ^k _k^e - фактор затухания в системе). В выражении (2) (_e) - характеристический детерминант системы (1), взятый при значении = _e , а ^k (_e)   - детерминант, полученный из характеристического заменой элементов k-го столбца на столбец, составленный из Q₁^e , Q₂^e , ... Q₃^e . С ростом числа элементов системы s указанные детерминанты могут иметь только численное решение, которое естественно затрудняет анализ влияния сопротивления на процессы в системе.