т.2 No 1

19

Исследование одномерной однородной линии с сопротивлением

После избавления от временной зависимости стандартным образом

где _n  - амплитуда смещения n-го элемента упругой линии с сосредоточенными параметрами, и замены

система (3) примет вид

Несложно увидеть, что система (6) стала полностью идентичной моделирующей системе дифференциальных уравнений для идеальной полубесконечной упругой линии, для которой в [10] были получены точные аналитические решения в виде (с учётом временной зависимости):

для периодического режима ( < ₀,   < 1)

для апериодического режима ( > ₀,   > 1)

для критического режима ( = ₀,   = 1)

где ₀ - начальная фаза воздействия внешней силы; ,  ,  _- - параметры упругой линии с сосредоточенными параметрами:

При применении решений (7)–(9) в качестве решения системы (6) следует учесть, что в результате замены (5) параметр в выражении (10) становится комплексной величиной:

Это означает, что в линии с сопротивлением может существовать только периодический режим колебаний (7). Появление же самостоятельных критического и апериодического режимов возможно только при переходе к идеальной линии, т.е. при действительном значении , что реализуется, как видно из (13), при r = 0 .