т.2 No 1

25

Исследование одномерной однородной линии с сопротивлением

Рассматривая идеальную упругую линию как некоторый предельный случай линии с сопротивлением, мы можем утверждать, что и в этой модели в апериодическом режиме будет распространяться прогрессивная волна, длина которой стабилизируется на значении = 2a. Об этом, в частности, можно судить по предельной кривой, к которой стягиваются графики v_f () на рис. 3 при r 0 . При этом, конечно же, необходимо учитывать особенности, появляющиеся в решениях, обусловленные идеализацией процессов. В частности, на рис. 3 мы видели, что при частоте, стремящейся к нулю, фазовая скорость также стремится к нулю. Но для идеальных линий будет иначе, и фазовая скорость будет стремиться к известному значению, равному (T_i/)^1/2 , где T_i - жёсткость линии. Это несложно проверить, подставляя в (27) вместо _r значение из (11) и находя предел при 0 . Тем не менее, как будет показано ниже, реальные системы имеют некоторые особенности решений, которые не могут быть получены на идеализированных моделях, но которые желательно учитывать при анализе идеальных моделей.

Аналогично и в случае групповой скорости распространения волнового процесса. Как известно (см. например [6, 9, 14]), с этой скоростью в настоящее время ассоциируется процесс переноса энергии волной. При этом считается, что “при движении соседних атомов в противофазе, что реализуется для

т.е. для длины волны = 2a, групповая скорость оказывается равной нулю” [14, с. 109]. Вследствие этого в закритической области отсутствует передача энергии вдоль линии, поскольку “границе зоны Бриллюэна

будет соответствовать не бегущая, а стоячая волна” [14, с. 110].

Для построения зависимости групповой скорости от частоты v_g () в случае упругой линии с сосредоточенными параметрами необходимо учесть, что не фаза запаздывания _r , а  является в выражении (17) независимой переменной, по которой осуществляется дифференцирование. Поэтому

Находя производную _r /   из (17) и подставляя её значение в (28), мы определим групповую скорость распространения волны в зависимости от частоты. Характерный график данной зависимости приведен на рис. 4.

Рис. 4. График зависимости групповой скорости распространения волны в линии v_g  от частоты f   воздействия внешней силы

В первую очередь обращает внимание похожий характер зависимостей v_f () на рис. 3 и v_g () на рис. 4 в докритической области при малых r. На обоих графиках наблюдается резкий рост скорости в области сверхнизких частот и последующая аномальная дисперсия вплоть до граничной частоты ₀  . При =₀ фазовая скорость принимает некоторое конечное значение, в то время как групповая в случае идеальной линии действительно обращается в ноль. Но только для идеальной линии. При наличии в линии сопротивления этого не происходит, и чем больше сопротивление, тем более величина групповой скорости при граничной частоте отличается от нуля.

В закритической области групповая скорость возрастает тем в большей степени, чем меньше величина сопротивления r . Но, несмотря на большой рост, её величина остаётся конечной. Следовательно, для упругих линий с сопротивлением (даже при бесконечно малом сопротивлении) и в закритической области имеет место распространение энергии вдоль линии, хотя и с большим амплитудным затуханием.

В предельном же случае идеальной упругой линии групповая скорость в закритической области обращается в бесконечность, и эту особенность необходимо учитывать в процессе анализа результатов, полученных с использованием определённой идеализации моделируемых процессов.

При большом сопротивлении зависимость v_g () представляет собой монотонно возрастающую функцию частоты без особенностей в точке критического режима. Характер её изменения с частотой также аналогичен v_f () при больших r .