СЕЛФ

26

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

4. Предельный переход к линии с распределенными параметрами

Полученные выше точные аналитические решения (19) для линии с сосредоточенными параметрами могут быть легко продолжены на линии с распределенными параметрами. Для этого необходимо произвести замену параметров, характеризующих дискретное распределение масс на соответствующую систему параметров, характеризующих распределенную одномерную систему масс.

Введем

где - плотность упругой линии; x - мгновенная координата исследуемой точки линии; x₀ - координата исследуемой точки линии в невозмущенном состоянии; T_l - жесткость линии; - механическое удельное сопротивление линии; a - расстояние между элементами линии с сосредоточенными параметрами.

С учетом (29), мы можем определить трансформацию параметров (16)–(18) при a 0. Прежде всего, при малом a параметры  A,  B,   C, D с учетом (29) можно записать следующим образом:

Подставляя (30) в (16), получим с точностью до a:

где

- коэффициент затухания - содержит только величины, соответствующие системе с распределёнными параметрами.

Дальнейшие исследования параметра R необходимо производить с учетом степени, в которой он входит в выражение (15). Тогда с учетом (29) и (31) можно записать

Т.е. при переходе к линии с распределенными параметрами затухание волны вдоль линии описывается экспоненциальной зависимостью. При переходе к идеальной линии, т.е. при 0, параметр согласно (31) также стремится к нулю, как и следовало ожидать. Зависимость () особенно проявляется на низких частотах, когда / сравнимо с .