СЕЛФ

66

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

6.2. Анализ правомерности введения Эйнштейном эквивалентности центробежных сил гравитационному притяжению звезд

Пользуясь правилом Пуанкаре, рассмотрим проблему эквивалентности центробежных сил гравитационному притяжению окружающих звезд в интерпретации Эйнштейна. Для этого построим простую модель некоторого тела массой m_m , вращающегося с угловой скоростью _m вокруг неподвижного центра, в котором расположена масса m_e , на нерастяжимой связи радиусом r_m . Также пусть данную систему окружает некоторое количество гравитирующих тел с массами M_i , расположенных на значительном расстоянии от центра вращения, как показано на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Схема для расчета влияния внешних гравитирующих масс на возникновение центробежной силы в релятивистском представлении

В соответствии с эйнштейновской постановкой задачи положим, что распределение окружающих масс таково, что суммарное воздействие этих масс на центральное тело m_e , как и на тело m_m , если оно будет помещено в центр, равно нулю, что обеспечивает отсутствие некомпенсированной силы, воздействующей на центр вращения. Учитывая статическое положение окружающих масс (по Маху), мы можем, используя гравитационный закон Ньютона, записать данное условие в следующем виде:

где _i  – единичный вектор из неподвижного центра на i-ю удаленную массу. В (6.1) мы учли, что если тело m_m  будет помещено на ось вращения, то суммарная сила, воздействующая на него, также должна быть равна нулю.

Теперь нам нужно записать аналогичное равенство для суммарной силы, воздействующей на вращающееся тело при его расположении на расстоянии r_m  от оси вращения. Это равенство будет иметь вполне ожидаемый вид

Учитывая удаленность масс, равенство (6.2) приближено можно записать в виде

и поскольку первое слагаемое правой части согласно (6.1) равно нулю, окончательно получим с достаточной степенью точности

Внешне может показаться, что записав (6.4), мы подтвердили вывод Эйнштейна и Маха о том, что центробежная сила может быть представлена в виде некомпенсированного воздействия окружающих гравитационных масс. Единственный нюанс состоит в том, что в (6.4) отсутствует зависимость от частоты орбитального вращения самого тела. Это означает, что сила, которую релятивисты считают эквивалентом центробежной, будет сохранять свою величину, а главное, направление независимо от того, вращается тело или покоится относительно центрального. Вместе с тем, даже в нерелятивистском случае мы наблюдаем изменение пространственной ориентации центробежных сил во времени и зависимость их амплитуды от угловой скорости вращающегося тела. Из этого следует, что вводя подобную интерпретацию центробежной силы, релятивисты в соответствии с (6.4) должны вводить дополнительную зависимость частоты вращения или от изменения расстояния до гравитирующих масс, или от величины самих масс, поскольку длина связи r_m  и масса тела m_m  по условию остаются неизменными, причем указанное возрастание должно осуществляться в пропорции, обратной r_m /R_i³ . Если учесть к тому же, что подобных вращений в земных условиях с разными частотами и разными радиусами ежесекундно происходят миллионы (а во вселенной значительно больше!), то подобное изменение как радиусов, так и величин гравитирующих масс, да к тому же в указанных пропорциях по желанию экспериментатора, принципиально невозможно.

Для полноты анализа релятивистского представления следует рассмотреть еще одну возможность эйнштейновского обоснования эквивалентности центробежной силы с вращением удаленных гравитирующих масс, которую указал коллега с Астрофорума Г. Тележко [57] при обсуждении первого варианта данной работы. Идея Г. Тележко заключалась в попытке учесть гравитационный векторный потенциал окружающих масс, возникающий при движении последних вокруг ведра (или ведра вокруг масс, что с релятивистской точки зрения идентично). Точнее это формулировалось в следующей форме.

“Пока эти поля статичны – только скалярный потенциал и имеет место. Но если источник поля движется, то неподвижному наблюдателю он доставляет новое неудобство в виде векторного потенциала вида

– в первом приближении (где A_gi  – гравитационный векторный потенциал, _i  скалярный потенциал, V_i  – скорость относительного вращения тела и кольца из гравитирующих удаленных масс – авт.). А если этот векторный [потенциал] еще и меняется со временем или в пространстве в поперечном себе направлении, то это рождает силы типа лоренцевой или магнитных в электромагнетизме” [57, письмо 29]. Потенциал вращающейся сферы от потенциала невращающейся сферы “отличается наличием ротора векторного потенциала (этот ротор – вектор, направленный вдоль оси вращения) – если в классических терминах. Сумма векторных потенциалов от точек сферы в какой-то точке внутри зависит от положения точки относительно оси вращения – отсюда и не равный нулю ротор. Пусть точка имеет координаты x = a, y = 0 в плоскости экватора X, Y. И вращается, для простоты, в плоскости X, Y узкое цилиндрическое кольцо, расположенное в той же плоскости, с высотой h << R и массой M. Найдем суммарный векторный потенциал в этой точке.

y-компонента потенциала равна (гравитационную постоянную нормируем на 1)” [57, письмо 10]

при a << R ” [57, письмо 13], где  A_gy  – y-компонента гравитационного потенциала, M  – масса кольца,     в данном случае – угол, под которым наблюдается в выбранной системе отсчета элементарный объем кольца. При этом, по мнению автора, “Я взял на себя смелость предположить, что именно эта подстановка отвечает:

– за Эйнштейновскую E = mc² пробного тела (то есть полная энергия тела – это потенциальная энергия его в потенциале Вселенной);

– за инерцию (ускорение в таком потенциале создает "гравилоренцеву" силу, действующую против ускорения и пропорциональную ускорению);

– за все релятивистские эффекты (пересчет потенциала любым наблюдателем в потенциал, не содержащий векторной части, приводит к необходимости преобразовывать физ. величины по Лоренцу)” [57, письмо 6].

И хотя сама идея учета векторного потенциала, возникающего вследствие движения источника, не может впрямую относиться к аргументам, на которые мог опираться Эйнштейн, но скорее является попыткой г-на Тележко обосновать гипотезы Эйнштейна – Маха, исходя из дальнейшего развития теоретической физики, тем не менее интересно проанализировать данную посылку для обобщения вывода, сделанного нами выше.

Чтобы рассмотрение было полным, мы прежде всего должны принять во внимание, что согласно ранее проведенным нами исследованиям, обосновывающим условия возникновения векторного потенциала электромагнитного поля [58], в данной задаче принципиально различаются два случая: движение тела в поле неподвижного источника и движение источника по отношению к неподвижному телу. Данное различие обусловлено конечностью скорости распространения возмущения в пространстве. Поэтому мы несколько расширим модель Г. Тележко, предполагая возможность движения как сферы удаленных звезд по отношению к телу, так и тела по отношению к указанной сфере, которая моделируется им вырезанным из сферы цилиндрическим кольцом.

Если тело движется в поле неподвижного источника (в данной модели – массивного кольца), то оно взаимодействует со статическим полем этого источника. При этом сила возникает исключительно в результате неоднородности поля источника (безусловно, при наличии данной неоднородности), и возникает эта сила непосредственно в момент попадания исследуемого тела в конкретную область поля, поскольку само поле, как уже было сказано, статично и присутствует в данной точке до появления в ней исследуемого тела и независимо от нахождения тела в данной точке. Понятно, что при сферическом расположении гравитирующих масс, потенциал внутри сферы будет постоянным, поскольку “результирующая сила тяготения, создаваемая шаровым слоем в целом, должна быть тождественно равна нулю для любой точки A , лежащей внутри сферы радиуса R . Следовательно, сила притяжения, действующая на тело, перемещающееся внутри Земли (в рассматриваемой нами модели – внутри массивной оболочки – авт.), будет равна силе притяжения, создаваемой шаром радиуса, равного расстоянию тела от центра Земли” [59, с. 183–184]. А поскольку в данном варианте нашей задачи между центром вращения и вращающимся телом отсутствует значительная гравитационная масса и потенциал внешних гравитирующих масс постоянен во времени, то и векторный гравитационный потенциал также будет равен нулю, независимо от характера движения самого тела. Причем обращение векторного потенциала в ноль произойдет несмотря на то, что выражение (6.5), на котором г-н Тележко основывает свои выкладки, нулю как бы не равно. Чтобы понять причину обращения в ноль векторного потенциала в случае статического поля независимо от выражения (6.5), необходимо учесть природу векторного потенциала. Гравитационный векторный потенциал был введен (в том числе и Г. Тележко) по аналогии с векторным потенциалом в теории электромагнитного поля на основе общих закономерностей теории потенциала. Поэтому этот потенциал, как и в теории электромагнитного поля в области вне гравитирующих (в данной аналогии) масс должен удовлетворять известному соотношению [53, с. 84]:

где   – скалярный потенциал, A_g  – векторный потенциал. Из (6.7) следует, что в области постоянного скалярного потенциала данное выражение переходит в уравнение для стационарного поля

Кроме того, векторный потенциал, как известно, определяется выражением [53, с. 87]

где, в данном случае,  = t - R - a/c ; j(R, ) = v₀  – плотность потока гравитирующей массы; – плотность гравитирующей массы; v₀  – скорость движения элемента объема гравитирующей массы; R - a – расстояние между источником поля и исследуемой точкой; R  – радиус-вектор элементарного объема гравитирующего тела; a  – радиус-вектор исследуемой точки, V'   в данном случае – объем, занимаемый гравитирующим телом.

Из (6.8) непосредственно следует, что в случае неподвижной сферы гравитационный векторный потенциал  A_g  стационарен и не зависит от времени.

Из (6.9) следует, что плотность потока j(R, ) равна нулю, поскольку гравитирующее кольцо неподвижно и v₀   равно нулю. Следовательно, при неподвижности цилиндрического кольца ли, гравитирующей сферы ли векторный потенциал во всей внутренней области данного кольца или сферы должен быть равен нулю, и таким образом исходная формула (6.5) неприменима к случаю неподвижной сферы и вращающегося тела, поскольку ее справедливость ограничена исключительно случаем движущегося со скоростью V_i  источника, но не тела, которое находится в поле источника. Движение же исследуемого тела, будь то ньютоново ведро или вращающаяся вокруг Солнца планета, в поле внешней неподвижной сферы не будет приводить к возникновению векторного потенциала, а следовательно, не будет приводить и к появлению внешних сил, которыми можно было бы обосновать центробежную силу внешними факторами.

Если же движется источник, то возмущение, обусловленное движением сферы, будет воздействовать на тело с запаздыванием во времени, необходимым, чтобы возмущение достигло точки, в которой расположено тело. В связи с этим возникает два возможных варианта рассмотрения.

В первом варианте сфера начинает и заканчивает движение вместе с началом и окончанием движения вращающегося тела. В этом случае указанное запаздывание принципиально, поскольку и в модели Маха, и в модели Эйнштейна, и в модели Тележко гравитирующие массы достаточно далеко расположены от вращающегося ньютонова ведра, а потому, если вращается цилиндрическое кольцо, то это вызывает большие вопросы не только к условиям и силам, способным привести данное кольцо в движение синхронно с началом вращения тела, но и к возникновению центробежной силы без задержки во времени с началом движения ведра, которая в случае центробежных сил не наблюдается экспериментально. Вместе с тем, учитывая астрономические размеры гравитирующего кольца, запаздывание может быть столь значительным, что связь между телом и центром вращения в определенных условиях способна будет разрушиться раньше, чем возмущение от удаленного на многие миллионы световых лет кольца достигнет тела.

Еще одно решение можно получить в модели Тележко, если предположить, что узкое цилиндрическое кольцо вращается стационарно, а центробежная сила возникает при движении тела относительно кольца. В этом случае, на основе общего выражения (6.5), не требуется возникновение движения кольца в момент начала вращения тела относительно звезд, и вывод (6.6), сделанный г-ном Тележко, применим, правда с той особенностью, что в данном выражении под скоростью будет подразумеваться не скорость тела, а стационарная скорость гравитирующего кольца. Вернее, даже не вывод (6.6) может быть использован, а исходное выражение (6.5), поскольку для случая внутренней области кольца столь сложное интегрирование не требуется, и результат будет иным, чем в (6.6.). Учитывая постоянство скалярного потенциала внутри кольца, выражение (6.5), при скорости массивного кольца звезд, v₀ , примет вид

где   – средняя плотность материала кольца, – гравитационная постоянная, A_gr – тангенциальная составляющая гравитационного векторного потенциала.

В (6.10) и скалярный потенциал, и скорость кольца постоянны. Следовательно, и тангенциальная составляющая гравитационного векторного потенциала A_gr   постоянна во всей области пространства внутри кольца, и ее отличие от скалярного потенциала заключается в том, что это векторная величина, направленная в данном случае перпендикулярно радиусу кольца.

Развивая аналогию с электромагнетизмом, на основе которой г-н Тележко ввел понятие гравитационного векторного потенциала, мы можем заключить, что потенциальная сила, обусловленная векторным потенциалом, будет равна нулю. Действительно, с учетом постоянства A_gr,

А вот циркуляция вектора

как и ожидал г-н Тележко, в ноль не обращается. Но это ненулевое значение ограничено случаем, когда плоскость орбиты вращающегося тела содержит внутри себя ось вращения массивного кольца (см. рис. 6.2).

Рис. 6.2. Схема вращения тела в случае, когда ось вращения совпадает с осью вращения массивного кольца

В частном случае, когда оси вращения тела и кольца совпадают,

На основании (6.13) можно определить среднюю напряженность магнито-гравитационного поля внутри области, охватываемой контуром L , как

и наконец, по аналогии с силой Лоренца

где V  – скорость вращения тела, m  – масса тела. Безусловно, приведенный расчет является оценочным и при переходе от кольца к сфере выражение (6.15) существенно усложнится вследствие неодинаковой скорости вращения вырезаемых колец, тем не менее главная особенность, которую это решение показывает, сохранится. Эта особенность заключается в том, что направление действия магнито-гравтиационной силы зависит от направления вращения тела. При изменении направления на противоположное, изменяется и направление силы. Следовательно, если бы центробежная сила была обусловлена векторным потенциалом, то при изменении направления вращения мы не могли бы наблюдать стремление тела удалиться от центра вращения независимо от направления вращения, как указывал Ньютон. Тело при одном направлении вращения стремилось бы удалиться от центра вращения, а при изменении направления вращения на противоположное стремилось бы приблизиться к центру вращения, – что, естественно, не согласуется с практикой. К тому же при ориентации орбиты вращения тела перпендикулярно плоскости гравитирующего кольца, центробежная сила согласно (6.15) была бы направлена не от центра, как полагается центробежной силе, но перпендикулярно плоскости орбиты тела, разворачивая ее в плоскость кольца, что также не наблюдается в практике при исследовании центробежных сил, но наблюдается в практике взаимодействия контуров с током. В механике, наоборот, наблюдается гироскопический эффект сохранения ориентации оси вращения тела в пространстве.

Второй вариант вращения тела в поле гравитационного векторного потенциала, когда ось вращения кольца находится вне плоскости вращения тела (см. рис. 6.3), приводит к нулевому значению циркуляции вследствие постоянства величины и направления векторного потенциала во всей ограниченной области вращения тела.

Рис. 6.3. Схема вращения тела в случае, когда ось вращения массивного кольца расположена вне плоскости вращения тела

При этом, даже если исходить из неравномерности распределения гравитирующих масс во вселенной, что могло бы привести к некоторому перераспределению векторного потенциала в пространстве, главная его особенность проявилась бы и при совпадении, и при несовпадении осей вращения гравитирующего кольца и вращающегося тела. А именно, при определенном направлении вращения сила была бы направлена наружу, а при изменении направления изменилось бы и направление центробежной силы. При перпендикулярности же плоскостей вращения наблюдался бы разворот орбиты тела.

Таким образом, проанализировав все основные варианты возможного воздействия гравитационного векторного потенциала на вращающееся тело, мы приходим к заключению о невозможности отождествления силового воздействия, обусловленного векторным потенциалом с центробежной силой.

Из этого рассмотрения следует не ошибочность классического формализма, связывающего центробежную силу инерции с самим телом, о которой заявлял Эйнштейн: “Если ньютоновские законы механики и гравитации не допускают такой интерпретации, то это можно считать скорее недостатками этих теорий”, а некорректность подмены внутренних инерциальных свойств тела внешними воздействиями. В действительности, учитывая, что центробежная сила, согласно всем экспериментальным данным и многовековой практике, изменяется не вследствие изменения положения внешних небесных тел, но исключительно благодаря нашему желанию изменять скорость вращения исследуемого тела, а также учитывая строгую зависимость центробежной силы именно от угловой скорости вращения, – следует признать, что данная сила действительно в полном соответствии с ньютоновским учением является следствием инерциальности материального тела и определяется условиями изменения состояния его движения вследствие искривления траектории, которое это тело испытывает, вращаясь вокруг центра. Ведь согласно Ньютону,

“Определение III

Врожденная сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Эта сила всегда пропорциональна массе, и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее.

От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому “врожденная сила” могла бы быть весьма вразумительно названа “силою инерции”. Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии. Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко: и как сопротивление, и как напор. Как сопротивление – поскольку тело противится действующей на него силе, стремясь сохранить свое состояние; как напор – поскольку то же тело, с трудом уступая силе сопротивляющегося ему препятствия, стремится изменить состояние этого препятствия” [2, с. 25].

Как мы видим из цитаты, данное правило касается не только ускорения и торможения тела, но и изменения его направления движения. Ведь для того, чтобы тело изменило направление движения без изменения его скорости, требуется, как известно, воздействовать силой в направлении, перпендикулярном движению. Воздействуя же с некоторой силой на тело, неминуемо возбудить сопротивление тела данному ускорению, вследствие чего, собственно, и возникает центробежная сила.

Рис. 6.4. Опыт со скамейкой Жуковского

Дополнительным подтверждением абсурдности подмены центробежной силы гравитационным воздействием удаленных масс является известный опыт со скамьей Жуковского. “Рассмотрим еще один опыт со скамьей Жуковского. Человек стоит на неподвижной скамье Жуковского и держит в руках ось массивного колеса так, что она является продолжением оси вращения скамейки (рис. 6.4). Вначале колесо не вращается, затем человек раскручивает его до угловой скорости ₁ . При этом он сам вместе со скамьей приходит во вращение в обратном направлении с угловой скоростью ₂ ,, которая, как показывает опыт, находится в полном согласии с законом сохранения момента импульса системы:

где J₁ – момент инерции колеса и J₂ – момент инерции человека и скамейки” [60, с. 80].

Приведенный простой эксперимент демонстрирует, что природу всех сил инерции, возникающих при вращательном движении, следует искать исключительно в самой системе, но не во взаимодействии с удаленными объектами, что делает подход релятивистов к проблеме эквивалентности инерциальных и неинерциальных систем отсчета некорректным в своей основе.