СЕЛФ

68

С.Б. Каравашкин и О.Н. Каравашкина

6.4. Об особенностях влияния сил инерции при ускоренном движении тела

Чтобы ответить на эту часть вопроса, мы должны в дополнение к ранее учтенным нами факторам, проявляющим причинно-следственную связь между воздействием внешней силы и появлением силы инерции, учесть особенности воздействия самой силы, и в первую очередь то важное обстоятельство, что “одна из важнейших характеристик силы – ее материальное происхождение” [63, с. 210].

В наиболее общей классификации, “силы, действующие на твердое тело, можно разделить на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на частицы данного тела со стороны других материальных тел. Внутренними называются силы, с которыми частицы данного тела действуют друг на друга. Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной его точке, называется сосредоточенной. Силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности тела, называются распределенными… В частности, обычно рассматриваемая в механике сила тяжести, действующая на данное твердое тело, представляет собою равнодействующую сил тяжести его частиц” [64, с. 18].

Опираясь на приведенную классификацию, рассмотрим особенности действия сосредоточенных и распределенных (или как их еще часто называют – объемных) сил. И начнем рассмотрение с сосредоточенных сил, имеющих непосредственное отношение к возникновению центробежных сил во вращающемся сосуде с водой.

6.4.1. Особенности проявления сил инерции при воздействии сосредоточенных сил

Как следует из вышеприведенного определения, если исследуемое тело жестко соединено с осью вращения в некоторой своей точке, то силы, обеспечивающие воздействие на тело, являются сосредоточенными, поскольку указанная связь присоединяется к конкретной физической точке или к малой части поверхности тела. При этом все остальные части тела удерживаются вместе с точками контакта со связью силами сцепления внутри тела, т.е. внутренними силами, или, как их называют, силами упругости. Как следствие получается, что в случае сосредоточенных сил в процессе вращения участвуют как внешние, так и внутренние силы, благодаря которым осуществляется распространение воздействия от точки связи на остальные части тела. Данное воздействие наглядно можно смоделировать, представив внутренние силы пружинами, как показано на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Схема, описывающая возникновение центростремительных и центробежных сил в случае воздействия на начало упругой цепочки из равных масс

Данная схема несложно рассчитывается рекуррентным методом; правда, при этом с ростом числа рассчитываемых масс резко возрастает сложность получаемых выражений. Поэтому ограничимся четырьмя массами, что вполне достаточно для искомой зависимости и не ограничивает общность рассмотрения вопроса.

Пусть исходное положение масс до начала вращения таково, что все расстояния между ними равны, т.е. в случае рассчитываемых нами четырех масс

Обратим внимание на то, что в процессе вращения условие равенства всех расстояний между массами (6.18) не выполняется и мы должны ввести дополнительные изменения исходного условия, чтобы определить характер перераспределения масс. Введем это следующим образом:

При этом для удобства введем промежуточный параметр r_i  :

Решение задачи удобно начать с последней, четвертой массы. Поскольку ее вращательное движение обеспечивает только упругость пружины, то с учетом закономерности центростремительной и упругой сил, можем записать:

где – частота вращения цепочки, s   – коэффициент упругости пружины. Или, учитывая (6.20) и (6.21),

откуда

Из (6.23) следует, что степень трансформации пружины, искривляющей траекторию последнего тела, зависит как от жесткости самой пружины, так и от частоты вращения упругой цепочки. Из (6.23) также следует, что x₄ = 0   при  s = или  = 0 . Это само по себе уже подтверждает, что центробежная сила возникает как сила инерции в самом теле, поскольку изменение радиуса вращения тела (вследствие отличного от нуля значения  x₄ ) обусловлено внутренними силами и частотой вращения безотносительно к положению удаленных гравитирующих тел. К тому же, как видно из (6.23), степень трансформации рассматриваемой пружины зависит от радиуса вращения r₃   предыдущего тела, что полностью алогично с точки зрения маховской и эйнштейновской интерпретаций.

Величину r₃ мы можем определить, моделируя условия движения третьего тела. На него действуют уже две пружины, поэтому уравнения сил для этого тела будут иметь вид

Подставляя значение x₄   из (6.23), получим после преобразований

Снова учитывая (6.19) и (6.20), получим

Решая относительно  x₃ , получим

Из (6.27) мы видим, что изменение третьей пружины также зависит от частоты вращения и от расположения предыдущей – второй массы, но зависимость существенно сложнее, чем для x₄ .

Идя тем же путем, рассмотрим баланс сил для второй массы. Моделирующее уравнение будет иметь вид

После вышеописанных преобразований получим

Из (6.29) мы видим, что x₂   зависит только от известных параметров, заданных по условию задачи. Теперь, используя (6.19) и (6.20), можем, возвращаясь обратно от первой массы к четвертой, определить радиусы, на которых устойчиво вращаются массы упругой системы. Характерное распределение масс вдоль упругой цепочки, полученное на основе произведенного расчета, показано на рис. 6.6.

Рис. 6.6. Распределение масс (показаны синими маркерами) упругой цепочки при ее устойчивом вращении вокруг неподвижного центра на жесткой связи, присоединенной к первой массе; исходное положение масс показано лиловыми маркерами; параметры схемы: r = 1 м; a = 0,1 м; m = 0,1 кг; s = 100 Н/м; = 10 сек ^-1

На рис. 6.6 мы видим ожидаемое уменьшение растяжения пружин с приближением к концу цепочки, что свидетельствует о том, что на величину центростремительной силы влияет не только величина самой массы, к которой приложена сила, но и связь этой массы с последующими. И чем длиннее цепочка, тем влияние будет больше. Причем данное влияние зависит как от параметров упругой цепочки, так и от частоты вращения. Данная зависимость относительных трансформаций исходных интервалов между массами от относительного радиуса вращения масс показана на рис. 6.7.

Рис. 6.7. График зависимости относительной трансформации интервалов между массами от относительных радиусов вращения масс при различных частотах вращения

Безусловно, что подобные зависимости Мах не мог бы получить на основе представления о влиянии окружающих гравитационных масс. Все, что он мог смоделировать на основе предположения о вселенской природе центробежных сил, сводилось к полной неопределенности: “… нашему исследованию доступно лишь ограниченное число масс и поэтому указанное суммирование не может быть доведено до конца…. Нам остается лишь подождать пока этот опыт у нас не появится” [61, с. 59]. Таким образом, уйдя от четкой зависимости, описанной Ньютоном, Мах пришел к той самой неопределенности, которая как раз и позволила релятивистам в последующем осуществлять ревизию физических законов без оглядки на соответствие физическим процессам. В свете этого бессмысленно ожидать продвижение наших экспериментальных знаний, поскольку посылка Маха о том, что его определение инерции “… дает то же, что и обычное, коль скоро существует достаточное число тел в мировом пространстве, кажущихся неподвижными” [61, с. 59] – некорректна в самой постановке, поскольку основана на внешнем кажущемся, но не на процессе, всесторонне обусловленном в совокупности выявляемых свойств. “Если бы я мог когда-нибудь встретиться с этим философом, который, как мне кажется, стоит гораздо выше многих других последователей того же учения, то в знак приязни я напомнил бы ему о явлении, которое он, безусловно, тысячу раз видел и из которого в полном согласии с тем, что мы изложили, можно понять, сколь легко можно оказаться обманутым простой видимостью или, скажем, чувственным представлением. Явление это заключается в следующем: людям, идущим ночью по улице, кажется, будто луна идет тем же шагом, что и они, пока они видят ее скользящей вдоль водосточных желобов на крыше, над которыми она показывается совершенно так же, как кошка, которая действительно, идя по крыше, следовала бы за ними. Видимость эта слишком очевидно вводила бы зрение в заблуждение, если бы не вмешивался рассудок” [39, с. 193]